Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique
f
∈
H
{\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}
tel que
L
(
v
)
=
⟨
f
,
v
⟩
{\displaystyle L(v)=\langle f,v\rangle }
pour tout
v
∈
H
{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}
.
Pour tout
u
∈
H
{\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}
, l'application
v
↦
a
(
u
,
v
)
{\displaystyle v\mapsto a(u,v)}
est une forme linéaire continue sur
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
et donc de la même manière, il existe un unique élément
A
(
u
)
∈
H
{\displaystyle A(u)\in {\mathcal {H}}}
tel que
a
(
u
,
v
)
=
⟨
A
(
u
)
,
v
⟩
{\displaystyle a(u,v)=\langle A(u),v\rangle }
pour tout
v
∈
H
{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}
. On montre facilement que l'opérateur
A
{\displaystyle A}
ainsi défini est un endomorphisme linéaire sur
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
.
Par la continuité de
a
{\displaystyle a}
, il existe une constante
c
>
0
{\displaystyle c>0}
telle que
‖
A
(
u
)
‖
2
=
⟨
A
(
u
)
,
A
(
u
)
⟩
=
a
(
u
,
u
)
≤
c
‖
A
(
u
)
‖
‖
u
‖
{\displaystyle \|A(u)\|^{2}=\langle A(u),A(u)\rangle =a(u,u)\leq c\|A(u)\|\|u\|}
, d'où
(
3
)
∀
u
∈
H
‖
A
(
u
)
‖
≤
c
‖
u
‖
{\displaystyle \qquad (3)\quad \forall \ u\in {\mathcal {H}}\quad \|A(u)\|\leq c\|u\|}
.
Avec ces éléments, la relation
(
1
)
{\displaystyle (1)}
s'écrit de manière équivalente :
∃
!
u
∈
K
⟨
f
−
A
(
u
)
,
v
−
u
⟩
≤
0
∀
v
∈
K
{\displaystyle \exists !\,u\in K\quad \langle f-A(u),v-u\rangle \leq 0\quad \forall v\in K}
Pour tout réel
r
{\displaystyle r}
strictement positif, c'est également équivalent à :
∃
!
u
∈
K
⟨
r
f
−
r
A
(
u
)
+
u
−
u
,
v
−
u
⟩
≤
0
∀
v
∈
K
,
∀
r
>
0
{\displaystyle \exists !\,u\in K\quad \langle rf-rA(u)+u-u,v-u\rangle \leq 0\quad \forall v\in K,\ \forall r>0}
En utilisant le projection sur un convexe fermé , on a de manière équivalente :
∃
!
u
∈
K
u
=
p
K
(
r
f
−
r
A
(
u
)
+
u
)
∀
r
>
0
{\displaystyle \exists !\,u\in K\quad u=p_{K}(rf-rA(u)+u)\quad \forall r>0}
où
p
K
{\displaystyle p_{K}}
est l'opérateur de projection sur
K
{\displaystyle K}
. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer qu'il existe un unique
u
∈
K
{\displaystyle u\in K}
qui vérifie l'équation de point fixe
u
=
P
(
u
)
{\displaystyle u=P(u)}
où l'application
P
:
K
→
K
{\displaystyle P:K\rightarrow K}
est définie par
P
(
v
)
=
p
K
(
r
f
−
r
A
(
v
)
+
v
)
{\displaystyle P(v)=p_{K}{\big (}rf-rA(v)+v{\big )}}
.
Pour cela, montrons que
P
{\displaystyle P}
est une application contractante . Soient
x
{\displaystyle x}
et
y
{\displaystyle y}
deux éléments de
K
{\displaystyle K}
. Comme l'opérateur de projection
p
K
{\displaystyle p_{K}}
est 1-lipschitzienne , on a
‖
P
(
x
)
−
P
(
y
)
‖
≤
‖
x
−
y
−
r
A
(
x
−
y
)
‖
{\displaystyle \|P(x)-P(y)\|\leq \|x-y-rA(x-y)\|}
D'où
‖
P
(
x
)
−
P
(
y
)
‖
2
≤
‖
x
−
y
‖
2
+
r
2
‖
A
(
x
−
y
)
‖
2
−
2
r
⟨
x
−
y
,
A
(
x
−
y
)
⟩
{\displaystyle \|P(x)-P(y)\|^{2}\leq \|x-y\|^{2}+r^{2}\|A(x-y)\|^{2}-2r\langle x-y,A(x-y)\rangle }
Comme la forme bilinéaire
a
{\displaystyle a}
est coervice, on a
⟨
A
(
x
−
y
)
,
x
−
y
⟩
=
a
(
x
−
y
,
x
−
y
)
≥
α
‖
x
−
y
‖
2
{\displaystyle \langle A(x-y),x-y\rangle =a(x-y,x-y)\geq \alpha \|x-y\|^{2}}
. Par ailleurs, en utilisant la relation
(
3
)
{\displaystyle (3)}
, on a l'inégalité
‖
A
(
x
−
y
)
‖
≤
c
‖
x
−
y
‖
{\displaystyle \|A(x-y)\|\leq c\|x-y\|}
. Par conséquent
‖
P
(
x
)
−
P
(
y
)
‖
2
≤
(
1
+
r
2
c
2
−
2
r
α
)
‖
x
−
y
‖
2
{\displaystyle \|P(x)-P(y)\|^{2}\leq {\big (}1+r^{2}c^{2}-2r\alpha {\big )}\|x-y\|^{2}}
L'application
P
{\displaystyle P}
est contractante si et seulement si
(
1
+
r
2
c
2
−
2
r
α
)
<
1
{\displaystyle (1+r^{2}c^{2}-2r\alpha )<1}
, c'est-à-dire si on a
0
<
r
<
2
α
c
2
{\displaystyle 0<r<{\frac {2\alpha }{c^{2}}}}
. En choisissant un tel
r
{\displaystyle r}
et en utilisant le théorème de point fixe de Picard , on montre qu'il existe effectivement un unique
u
∈
K
{\displaystyle u\in K}
tel que
u
=
p
K
(
r
f
−
r
A
(
u
)
+
u
)
{\displaystyle u=p_{K}{\big (}rf-rA(u)+u{\big )}}
, ce qui conclut la démonstration.
Si la forme bilinéaire
a
{\displaystyle a}
symétrique , on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
. La coercivité implique que
a
{\displaystyle a}
est définie et positive . On note par
⟨
.
,
.
⟩
a
{\displaystyle \langle .,.\rangle _{a}}
ce produit scalaire qui est défini par :
∀
x
,
y
∈
H
⟨
x
,
y
⟩
a
=
a
(
x
,
y
)
{\displaystyle \forall x,y\in {\mathcal {H}}\quad \langle x,y\rangle _{a}=a(x,y)}
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique
f
∈
H
{\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}
tel que
L
(
v
)
=
⟨
f
,
v
⟩
a
{\displaystyle L(v)=\langle f,v\rangle _{a}}
pour tout
v
∈
H
{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}
.
La relation
(
1
)
{\displaystyle (1)}
s'écrit alors de manière équivalente :
∃
!
u
∈
K
⟨
f
−
u
,
v
−
u
⟩
a
≤
0
∀
v
∈
K
{\displaystyle \exists !\,u\in K\quad \langle f-u,v-u\rangle _{a}\leq 0\quad \forall v\in K}
En utilisant le projection sur un convexe fermé , on a de manière équivalente :
∃
!
u
∈
K
u
=
p
K
a
(
f
)
{\displaystyle \exists !\,u\in K\quad u=p_{K}^{a}(f)}
où
p
K
a
{\displaystyle p_{K}^{a}}
est l'opérateur de projection sur
K
{\displaystyle K}
utilisant le produit scalaire défini par
a
{\displaystyle a}
. La relation
(
1
)
{\displaystyle (1)}
est donc équivalente à :
⟨
f
−
u
,
f
−
u
⟩
a
=
min
v
∈
K
⟨
f
−
v
,
f
−
v
⟩
a
{\displaystyle \langle f-u,f-u\rangle _{a}=\min _{v\in K}\ \langle f-v,f-v\rangle _{a}}
soit encore
⟨
u
,
u
⟩
a
−
2
⟨
f
,
u
⟩
a
=
min
v
∈
K
(
⟨
v
,
v
⟩
a
−
2
⟨
f
,
v
⟩
a
)
{\displaystyle \langle u,u\rangle _{a}-2\langle f,u\rangle _{a}=\min _{v\in K}\left(\langle v,v\rangle _{a}-2\langle f,v\rangle _{a}\right)}
ou bien
1
2
a
(
u
,
u
)
−
L
(
u
)
=
min
v
∈
K
(
1
2
a
(
v
,
v
)
−
L
(
v
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}a(u,u)-L(u)=\min _{v\in K}\left({\frac {1}{2}}a(v,v)-L(v)\right)}
, ce qui conclut la démonstration.