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<title> Discrétisation par des méthodes à un pas </title>

La méthode d'Euler

Etant donné une discrétisation du domaine ${(t_{n})}_{n=0}^{N}$, l'équation intégrale peut être écrite sous la forme :

${\vec {y}}(t_{n+1})={\vec {y}}(t_{n})+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}{\vec {F}}(t,{\vec {y}}(t))dt,n=0,...,N-1\$

Si nous utilisons une quadrature à un point, nous approximons l'équation ci-dessus par :

${\vec {y}}(t_{n+1})={\vec {y}}(t_{n})+h_{n}{\vec {F}}(t_{n+i},{\vec {y}}(t_{n+i})),n=0,...,N-1\$

où :$i=0$ pour la formule du rectange arrière, ou bien :$i=1$ pour celle du rectangle avant. Finalement, en remplaçant les valeurs exactes par les approximations, on obtient deux scémas, un schéma explicite :

${\vec {y}}_{n+1}={\vec {y}}_{n}+h_{n}{\vec {F}}(t_{n},{\vec {y}}(t_{n})),n=0,...,N-1\$

ou un schéma implicite :

${\vec {y}}_{n+1}={\vec {y}}_{n}+h_{n}{\vec {F}}(t_{n+1},{\vec {y}}(t_{n+1})),n=0,...,N-1\$