Utilisateur:Kantor88/Brouillon

La dérivée directe d'une fonction d'une variable numérique correspond au quotient de l'image par la variable.

Pour une fonction $f$ définie sur une partie de $\mathbb {R}$ telle que $x\mapsto f(x)$ la fonction dérivée directe est notée ${\frac {\mathrm {dr} f}{\mathrm {dr} x}}=\mathrm {dr} f(x)={\frac {f(x)}{x}}$

Dérivées directes usuelles


fonction	codérivée	domaine	codomaine
0	0	R*	R*
k	${\frac {k}{x}}$	R	R*
$x^{n}$	$x^{n-1}$	R	R*
${\frac {1}{x^{n}}}$	${\frac {1}{x^{n+1}}}$	R*	R*
${\sqrt {x}}$	${\frac {1}{\sqrt {x}}}$	$\mathrm {R^{+}}$	$\mathrm {R_{+}^{*}}$
$\mathrm {exp} \ x$	$x^{-1}\mathrm {exp} \ x$	R	R*
$\mathrm {ln} \ x$	$x^{-1}\mathrm {ln} \ x$	$\mathrm {R_{+}^{*}}$	$\mathrm {R_{+}^{*}}$
$\mathrm {cos} \ x$	$x^{-1}\mathrm {cos} \ x$	R	R*
$\mathrm {sin} \ x$	$x^{-1}\mathrm {sin} \ x$	R	R*
$\mathrm {tan} \ x$	$x^{-1}\mathrm {tan} \ x$	[R*]	[R*]
$\mathrm {arccos} \ x$	$x^{-1}\mathrm {arccos} \ x$	[-1;1]	[-1;1]\{0}
$\mathrm {arcsin} \ x$	$x^{-1}\mathrm {arcsin} \ x$	[-1;1]	[-1;1]\{0}
$\mathrm {arctan} \ x$	$x^{-1}\mathrm {arctan} \ x$	R	R*

Opérations sur les dérivées directes

$\mathrm {dr} u+\mathrm {dr} v=\mathrm {dr} (u+v)$

$\mathrm {dr} u\times \mathrm {dr} v=\mathrm {dr} (uvx)$

${\frac {\mathrm {dr} u}{\mathrm {dr} v}}=\mathrm {dr} ({\frac {ux}{v}})$

Itération : dérivée directe n-ième

La dérivée directe n - ième est donnée par ${\frac {\mathrm {dr} f}{\mathrm {dr} x^{n}}}=\mathrm {dr} nf(x)={\frac {f(x)}{x^{n}}}$ .

Lorsqu'on répète à l'infini le processus, on a $\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x)}{x^{n}}}=0.$

Codérivée

Pour une fonction $f$ définie sur une partie de $\mathbb {R}$ la codérivée est donnée par :

$\mathrm {codrmaj} f={\frac {\mathrm {dr} f}{f'}}$ pour la codérivée majeure

$\mathrm {codrmin} f={\frac {f'}{\mathrm {dr} f}}$ pour la codérivée mineure

$\mathrm {codrmaj} f=$ $\mathrm {codrmin} f$ est vraie pour $f(x)=kx$ ou $f(x)=kx^{-1}$

Codérivées usuelles

fonction	codérivée majeure	codérivée mineure
0	non définie	non définie
k	non définie	0
$x^{n}$	$1/n$	$n$
${\frac {1}{x^{n}}}$	$-{\frac {1}{n}}$	$-n$
${\sqrt {x}}$	$2$	$-{\frac {1}{2}}$
$\mathrm {exp} \ x$	$x^{-1}$	$x$
$\mathrm {ln} \ x$	$\mathrm {ln} \ x$	${\frac {1}{\mathrm {ln} \ x}}$
$\mathrm {cos} \ x$	$-{\frac {\mathrm {cos} x}{x\mathrm {sin} x}}$	$-{\frac {x\mathrm {sin} x}{\mathrm {cos} x}}$
$\mathrm {sin} \ x$	${\frac {\mathrm {sin} x}{x\mathrm {cos} x}}$	${\frac {x\mathrm {cos} x}{\mathrm {sin} x}}$

Une fonction dérivable isoquante vérifie une relation d'identité entre le produit de ses dérivées successives et elle-même.

Définition formelle

Soit $n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ , $I\subset \mathbb {R}$ , $f\in \mathbb {R} ^{I}$ une fonction de classe $C^{n}(I)$ et $p\in$ ⟦0, $n$ ⟧.

On dit que $f$ est $I$ -isoquante d'ordre $p$ si ⟦0, $p$ ⟧, $\forall x\in I,\prod _{k=0}^{p}f^{(k)}(x)=f(x)$

Convention : toute fonction sur $I$ est $I$ -isoquante d'ordre nul, même si $f\notin C^{0}(I)$

Propriétés

Pour p = 1, on a $ff'=f$ vérifiée par $f=0$ ou, $f:x\mapsto x+k,\quad k\in \mathbb {R}$
$\exists !f\in$ $C^{\infty }(I)$ , $\forall p\in \mathbb {N} ,$ $\forall x\in I,\prod _{k=0}^{p}f^{(k)}(x)=f(x)$ , il s'agit de $f=0$ .

Fonction dérivable isoquante forte

Soit $n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ , $I\subset \mathbb {R}$ , $f\in \mathbb {R} ^{I}$ une fonction de classe $C^{n}(I)$ et $p\in$ ⟦0, $n$ ⟧

On dit que $f$ est isoquante d'ordre $p$ si ⟦0, $p$ ⟧, $\forall m\in$ ⟦0, $p$ ⟧, $\forall x\in I,\prod _{k=0}^{m}f^{(k)}(x)=f(x)$

il n'y a que f=0.

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