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Démonstration que l'indicatrice est une bijection

Démonstration

Soit $\phi$ la fonction définie telle que

${\begin{array}{rcl}\phi :\left\{{\begin{matrix}P(E)&\longmapsto &\{0,1\}\\A&\longmapsto &\chi _{A}\end{matrix}}\right.\end{array}}$ montrons que $\phi$ est une bijection. Pour cela nous allons montrer que :

• $\phi$ est surjective
  • On trouve l'antécédent d'un élément par analyse-synthèse
• $\phi$ est injective
  • On prend des ensembles A et B tels que $\phi (A)=\phi (B)$, et on montre par double inclusion que A=B

• Montrons que $\phi$ est injective : soient A et B des éléments de $P(E)$ tels que $\phi (A)=\phi (B)$.
  • Soit $x\in A$, comme $\chi _{A}(x)=1$ et $\chi _{A}=\chi _{B}$, $\chi _{B}(x)=1$, donc $x\in B$. C'est vrai pour tout élément de A, donc $A\subset B$.
  • De même, on prend $x\in B$, et on montre que $B\subset A$

Donc A = B, donc $\phi$ est injective.

• Montrons que $\phi$ est surjective : soit ${\begin{array}{rcl}g:\left\{{\begin{matrix}P(E)&\longmapsto &\{0,1\}\\A&\longmapsto &g(A)\end{matrix}}\right.\end{array}}$, montrons qu'il existe B un élément de $P(E)$ tel que $\phi (B)=g$.
  • Analyse :
  • Synthèse :

${\begin{array}{rcl}\chi _{F}:E&\longrightarrow &\{0,1\}\\x&\longmapsto &\left\{{\begin{matrix}1\ {\mbox{si}}\ x\ \in \ F\\0\ {\mbox{si}}\ x\ \notin \ F\end{matrix}}\right.\end{array}}$

${\begin{cases}u_{n_{0}}=a\\\forall n\geq n_{0},\quad u_{n+1}=qu_{n}\end{cases}}$