Utilisateur:David Tewodrose/Brouillon

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En théorie géométrique de la mesure, un ensemble $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ est dit de périmètre fini si la quantité $P(E)=\sup\{\int _{E}div(\varphi )(x)dx/\varphi \in {\mathcal {C}}^{1}(\mathbb {R} ^{n},B(0,1))\}$ est finie. La quantité $P(E)$ est appelée périmètre de $E$.

Lien avec les fonctions à variation bornée

Un ensemble $E$ est de périmètre fini si et seulement si sa fonction caractéristique $\chi _{E}$ est à variation bornée, autrement dit s'il existe une mesure de Radon multivaluée $D\chi _{E}$ telle que pour tout champ de vecteur $\varphi \in {\mathcal {C}}_{\infty }^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})$,

$\int _{E}div(\varphi )(x)dx=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}<\varphi (x),D\chi _{E}>$.

Références

Luigi Ambrosio, Nicola Fusco & Diego Pallara, Functions of bounded variations and free discontinuity problems, Oxford Mathematical Monographs, 2000. ISBN: 9780198502456.