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Projet:Mathématiques

Méthode des Volumes Finis sur maillages généraux

Contexte

Les problèmes d'écoulement et de transport en milieu poreux représentent un domaine de recherche à la fois d'un grand intérêt scientifique et d'une importance essentielle pour la pratique, de part leur vaste domaine d'applications. Un exemple est donné par

l'écoulement de l'eau dans les nappes aquifères, qui sont essentielles à l'alimentation des villes en eau potable ; la protection et le développement des ressources en eau représentent un défi environnemental majeur, ce qui rend nécessaires une compréhension

profonde des écoulements et du transport de contaminants dans les nappes aquifères, ainsi que le développement d'outils appropriés pour les simulations numériques.

D'autre part, le développement intensif de l'industrie pétrolière dans les dernières décennies a créé une demande d'analyse mathématique et numérique d'écoulements multiphasiques. Il s'agit d'appréhender la coexistence de plusieurs fluides, comme par

exemple l'huile et l'eau, en milieu poreux. Les simulations numériques peuvent servir à améliorer le taux de récupération des hydrocarbures lors de l'exploitation d'un réservoir pétrolier ou de prédire leur mouvement naturel à l'échelle d'un bassin.

D'un point de vue pratique, le milieu poreux est souvent hétérogène et anisotrope, et il peut avoir une géométrie complexe. Ceci produit une difficulté dans l'approximation numérique des équations. Une telle difficulté doit être prise en considération

par les méthodes numériques utilisées. Les schémas volumes finis standards, malgré les nombreuses propriétés élégantes qu'ils possèdent ( principe du maximum discret, peu coûteux,...), ne peuvent pas s'appliquer sur des maillages généraux.

Quelques méthodes

Plusieurs variantes de méthodes volumes finis sur des maillages généraux, ont été développées au cours de ces dernières années. On peut citer par exemple la méthode SUSHI proposée par et généralisée par . D'autres schémas existent comme les schémas DDFV et CVFE. Un benchmark est organisé sur la diffusion anisotropique et hétérogène lors de la conférence FVCA5. Ces schémas permettent tous la discrétisation de termes de diffusion anisotropes et très hétérogènes sur des

maillages arbitraires. En général, ils nécessitent d'avantage d'inconnues discrètes que le schéma volumes finis standard.