Treillis de Galois

treillis dont la construction est basée sur une correspondance de Galois

Un treillis de Galois est un treillis dont la construction est basée sur une correspondance de Galois mais peut aussi être définie en termes de rectangles maximaux d'une relation.

Visualisation d'un treillis de Galois, sur des données sociosémantiques

Définition à partir d'une correspondance de GaloisModifier

  • Soient   et   deux fonctions définies sur les treillis   et   telles que   soit une correspondance de Galois.
  • Soit   l'ensemble des couples  tels que   et  
  • Soit   la relation définie par   si et seulement si  .

La structure   est alors un treillis appelé treillis de Galois.

Définition à partir d'une relation binaireModifier

  • Soit   une relation binaire.
  • On définit un rectangle maximal de   comme un couple   correspondant à un sous-produit cartésien de   maximal pour l'inclusion, c'est-à-dire tel que :

  et  [1].

  • Ces rectangles maximaux  , ordonnés par inclusion sur leurs premiers membres   - ou dualement sur leurs deuxièmes membres   - forment un treillis appelé treillis de Galois.

Cette dualité d'inclusion caractérise les treillis de Galois.

Théorème fondamental des treillis de GaloisModifier

Tout treillis peut être le treillis de Galois d'une relation binaire[2]. Réciproquement, deux relations binaires peuvent avoir le même treillis de Galois (ou plus rigoureusement, deux treillis de Galois isomorphes).

Treillis de conceptsModifier

Au XVIIe siècle, les jansénistes de Port-Royal ont dans leurs travaux explicité les notions d'intension et d'extension d'un concept, déjà abordées par les philosophes grecs de l'antiquité. On retrouve ces notions philosophiques dans les modes de définitions d'un ensemble mathématique : l'extension d'un ensemble est l'inventaire de ses éléments, tandis que l'intension regroupe les propriétés caractéristiques de cet ensemble.

En 1982, le mathématicien allemand Rudolf Wille (en)[3] a réinvesti ces notions philosophiques dans un cadre algébrique et algorithmique :

  • Soit X un ensemble d'objets formels et soit Y un ensemble de propriétés formelles que peuvent avoir ces objets ;
  • Soit   une relation binaire précisant les propriétés que possèdent ces objets ;
  • Alors chaque élément   du treillis de Galois correspondant peut être vu comme un concept formel, c'est-à-dire un ensemble d'objets partageant les mêmes propriétés. Le treillis de Galois prend alors le nom de treillis de concepts.

Notes et référencesModifier

  1. Cette condition de maximalité peut se traduire par :   et  .
  2. Ordre et classification, algèbre et combinatoire. Marc Barbut et Bernard Monjardet, Hachette, 1970.
  3. Analyse de concepts formels

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

Lien externeModifier

BibliographieModifier