Correspondance de Galois

En mathématiques, une correspondance de Galois antitone est une généralisation, pour deux ordres partiels quelconques, de la correspondance entre sous-corps d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. Une correspondance de Galois isotone se définit de façon analogue, en inversant l'ordre sur le deuxième ensemble. Cette notion est reliée à celle d'opérateur de clôture.

Correspondance antitoneModifier

Soient   et   des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés   et  . On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes.

Première définition :   est une correspondance de Galois antitone si   et   sont décroissantes et si   et   sont extensives, c.-à-d. vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

 

Deuxième définition :   est une correspondance de Galois antitone si   et   vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

 

Correspondance isotoneModifier

Avec les mêmes notations que précédemment, une correspondance isotone de   vers   est, au sens de variation de   et   près (elles sont maintenant supposées croissantes), une correspondance antitone entre   et l'ensemble ordonné  , où   désigne l'ordre opposé (ou « ordre dual ») de  . Autrement dit :

Première définition :   est une correspondance de Galois isotone si   et   sont croissantes et si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

 

Deuxième définition :   est une correspondance de Galois isotone si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

 

PropriétésModifier

Soit   une correspondance de Galois comme ci-dessus (antitone ou isotone).

  •   et   sont croissantes.
  •   (et  ), si bien que   et   sont idempotentes.
  •   est un opérateur de clôture sur   (puisqu'elle est de plus extensive).
  • Dans le cas antitone,   est de même un opérateur de clôture sur  .
  • Réciproquement, tout opérateur de clôture c sur un ensemble ordonné   est de la forme   pour une certaine correspondance de Galois[1], en choisissant par exemple pour Q l'image de c (muni de l'ordre induit ou de son opposé, selon qu'on souhaite construire une correspondance isotone ou antitone), pour   la corestriction de c à Q, et pour   l'injection canonique de Q dans P.

NoteModifier

Voir aussiModifier