Topos étale

En mathématiques, le topos étale d'un schéma X est la catégorie de tous les faisceaux étales sur X. Un faisceau étale est un faisceau situé sur le site étale de X.

Définition

Soit X un schéma. Une couverture étale de X est une famille $\{\varphi _{i}:U_{i}\to X\}_{i\in I}$, où chaque $\varphi _{i}$ est un morphisme étale de schémas, de telle sorte que la famille soit conjointement surjective $X=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}(U_{i})$ .

La catégorie Ét(X) est la catégorie de tous les régimes étale sur X. La collection de tous les recouvrements étales d'un schéma étale U sur X, c'est-à-dire un objet dans Ét(X) définit une prétopologie de Grothendieck sur Ét(X) qui induit à son tour une topologie de Grothendieck, la topologie étale sur X. La catégorie associée à la topologie étale s’appelle le site étale sur X.

Le topos étale $X^{\text{ét}}$ d'un schéma X est alors la catégorie de toutes les faisceaux d'ensembles sur le site Ét(X). Ces faisceaux s'appellent des faisceaux étales sur X. En d'autres termes, un faisceau étale ${\mathcal {F}}$ est un foncteur (contravariant) de la catégorie Ét(X) sur la catégorie des ensembles satisfaisant l’axiome de faisceau suivant:

Pour chaque étale U sur X et chaque étale couvrant $\{\varphi _{i}:U_{i}\to U\}$ de U, la séquence :

$0\to {\mathcal {F}}(U)\to \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j\in I}{\mathcal {F}}(U_{ij})$

où $U_{ij}=U_{i}\times _{U}U_{j}$, est exacte.

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