Lemme d'Artin-Tate

En algèbre, le lemme d'Artin-Tate énonce^[1] :

Soit A un anneau commutatif noethérien et $B\subset C$ des A-algèbres commutatives. Si C est de type fini sur A et si C est fini sur B, alors B est de type fini sur A.

(Ici, « de type fini » signifie « algèbre de type fini » et « fini » signifie « module de type fini ».)

Ce lemme a été introduit par Emil Artin et John Tate en 1951^[2] pour donner une preuve du théorème des zéros de Hilbert.

Le lemme est similaire au théorème d'Eakin-Nagata, qui dit que : si C est fini sur B et C est un anneau noethérien, alors B est un anneau noethérien.

Preuve modifier

La preuve suivante peut être trouvée dans Atiyah-MacDonald^[3]. Soient $x_{1},\ldots ,x_{m}$ engendrant $C$ en tant que $A$ -algèbre et soient $y_{1},\ldots ,y_{n}$ engendrant $C$ comme $B$ -module. On peut alors écrire

x_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{j}\quad {\text{et}}\quad y_{i}y_{j}=\sum _{k}b_{ijk}y_{k}

avec $b_{ij},b_{ijk}\in B$ . Alors $C$ est fini (engendré par $y_{1},\ldots ,y_{n}$ ) sur la $A$ -algèbre $B_{0}$ engendrée par les $b_{ij},b_{ijk}$ . En utilisant le fait que $A$ et donc $B_{0}$ sont noethériens, le sous-module $B\subset C$ est lui aussi fini sur $B_{0}$ . Puisque $B_{0}$ est de type fini en tant que $A$ -algèbre, $B$ est aussi une $A$ -algèbre de type fini.

Nécessité de la noethérianité modifier

Sans l'hypothèse que A est noethérien, l'énoncé du lemme d'Artin-Tate n'est plus vrai. En effet, pour tout anneau A non noethérien, on peut définir une structure de A-algèbre sur $C:=A\oplus A$ en posant $(a,x)(b,y)=(ab,bx+ay)$ . Alors pour tout idéal $I\subset A$ qui n'est pas de type fini, $B:=A\oplus I\subset C$ n'est pas de type fini sur A, bien que toutes les autres hypothèses du lemme soient satisfaites.

Références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Artin–Tate lemma » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995 (ISBN 0-387-94268-8), Exercise 4.32.
↑ E. Artin et J. T Tate, « A note on finite ring extensions », J. Math. Soc. Japan, vol. 3, 1951, p. 74-77.
↑ (en) M. F. Atiyah et I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra (lire en ligne), Proposition 7.8.

Voir aussi modifier

Article connexe modifier

Élément entier

Lien externe modifier

http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin-Tate_lemma

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[1] (en) David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995 (ISBN 0-387-94268-8), Exercise 4.32.

[2] E. Artin et J. T Tate, « A note on finite ring extensions », J. Math. Soc. Japan, vol. 3, 1951, p. 74-77.

[3] (en) M. F. Atiyah et I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra (lire en ligne), Proposition 7.8.

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