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Limite (mathématiques élémentaires)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Limite.

La notion de limite est très intuitive malgré sa formulation abstraite. Pour les mathématiques élémentaires, il convient de distinguer une limite en un point réel fini (pour une fonction numérique) et une limite en ou (pour une fonction numérique ou une suite), ces deux cas apparemment différents pouvant être unifiés à travers la notion topologique de voisinage.

Les limites servent (entre autres) à définir les notions fondamentales de continuité et de dérivabilité.

Pour une présentation générale, plus complète et plus abstraite, se référer à Limite (mathématiques).

Limite d'une fonction en un point pModifier

On s'intéresse ici à une fonction numérique f d'une variable réelle, de domaine de définition Df, et à un réel p « adhérent à Df » — intuitivement il est possible de s'approcher infiniment près du point p, sans obligatoirement l'atteindre, en restant à l'intérieur du domaine de définition de f — et même, pour simplifier, tel que Df contienne un intervalle de la forme ]p, p + h] ou [p – h, p[ pour un certain h > 0.

Ainsi, lorsque Df est un intervalle (ouvert ou fermé) non vide dont les bornes sont a et b, on peut chercher une limite en tout point de l'intervalle fermé [a, b]. On peut aussi, par exemple, chercher la limite de la fonction   en tout point de  . En revanche, on ne cherchera pas de limite en 0 pour les fonctions   ou   car 0 n'est pas adhérent au domaine de définition.

Limites finiesModifier

 
Pour tout x δ-proche de c, f(x) est ε-proche de L.

Si f est une fonction numérique et p un point de  , on dit[1] que le réel L est la limite de f en p si :

  • intuitivement : f(x) se rapproche de L à mesure que x se rapproche de p ;
  • plus rigoureusement, pour tout « écart de tolérance » ε > 0, on peut trouver un « écart de confiance » δ > 0 tel que, dès que x (appartenant à Df) est proche de p à δ près, f(x) est proche de L à ε près :
     .

Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi proche de L que souhaité, en restreignant les valeurs de x à un intervalle suffisamment petit autour de p.

Dans ce cas, on écrit  .

Lorsque p appartient au domaine de définition Df, la fonction f admet une limite L en p si et seulement si elle est continue au point p, et L est alors nécessairement égal à f(p).

Ici et dans la suite de l'article, on a fait le choix d'inégalités larges, tant pour l'« écart de confiance » (ici :  ) que pour l'« écart de tolérance » (ici :  ), mais on obtiendrait des définitions équivalentes en choisissant, pour l'un ou l'autre, une inégalité stricte[2].

Limites infiniesModifier

Il se peut aussi qu'au point   la fonction   n'ait pas de limite finie mais une limite infinie : à mesure que l'on se rapproche de   la valeur de   devient de plus en plus « proche » de   (respectivement  ), c'est-à-dire de plus en plus grande (resp. plus grande en valeur absolue mais avec un signe négatif). La formulation mathématique est alors la suivante : pour tout « seuil de tolérance »   on peut trouver un « écart de confiance »   tel que, dès que   (appartenant à  ) est proche de   à   près, alors   est plus grande (resp. plus petite) que   :

 

(resp.  )

Autrement dit, on peut rendre   aussi proche de   que souhaité sur un intervalle, si petit soit-il, autour de  .

Dans ce cas, on écrira   (ou  ).

Limites à gauche, à droiteModifier

Il arrive que le comportement local de la fonction   soit différent « à gauche » de   (c'est-à-dire pour les  ) et « à droite » de   (c'est-à-dire pour les  ). Par exemple, une fonction peut admettre une limite à droite mais pas à gauche, ou alors admettre deux limites différentes de chaque côté.

On est donc amené à introduire les notions de limite à droite et à gauche ; la seule différence avec les limites épointées expliquées ci-dessus est qu'on impose la proximité de   avec   ou   seulement d'un seul côté de  . Les définitions et notations correspondantes deviennent donc :

  • pour la limite à gauche :
      (qu'on note aussi :  ) lorsque
     
      (qu'on note aussi :  ) lorsque
     
  • pour la limite à droite :
      (qu'on note aussi :  ) lorsque
     
      (qu'on note aussi :  ) lorsque
     

Les notions de limites à droite et à gauche sont moins restrictives que la notion classique de limite « bilatérale » : une fonction peut avoir une limite à gauche et une limite à droite sans avoir de limite ni même de limite épointée. En fait on a les propriétés suivantes :

  • pour une fonction non définie en p : une fonction a une limite en   si et seulement si elle a une limite (éventuellement infinie) à gauche   et une limite à droite   et qu'elles sont égales :  
  • pour une fonction définie en p : une fonction a une limite en   si et seulement si[1] elle a une limite à gauche   et une limite à droite   et qu'elles sont égales toutes deux à f(p) :  

Exemple :

Pour la fonction ci-contre, on a :

 .

Absence de limite en un pointModifier

Une fonction peut très bien ne pas avoir de limite du tout en un point.

Par exemple,   n'a pas de limite en 0.

Limite d'une fonction en +∞ ou en -∞Modifier

On s'intéresse ici, non plus au comportement local d'une fonction en un point réel fini mais à son comportement « aux limites », soit quand   croît indéfiniment (limite en  ) soit quand   décroît indéfiniment (limite en  ). Cette étude ne concerne donc que des fonctions définies au voisinage de   ou  , c'est-à-dire des fonctions dont l'ensemble de définition contient un intervalle de la forme [M,  [ ou ] , m].

On peut noter que dans ce cadre la notion de limite à droite ou à gauche n'a plus de sens ; en fait les limites en   sont toujours des limites à gauche et les limites en   sont toujours des limites à droite.

Limites finiesModifier

 
Pour tout x > S, f(x) est ε-proche de L.

Dire que la fonction   admet la limite finie   en   revient à dire que   se rapproche de   à mesure que   grandit (ou « tend vers plus l'infini »).

Mathématiquement, cela se traduit par le fait que pour tout « écart de tolérance »   on peut donner un « seuil de confiance »   au-delà duquel la fonction restera dans l'intervalle de tolérance, de centre   et de rayon   :  

Autrement dit, on peut rendre   aussi proche de   que souhaité à partir d'un certain seuil, si lointain soit-il.

Dans ce cas on écrira  .

Tout ceci s'adapte facilement dans le cas d'une limite en   : on dit que   tend vers   quand   tend vers   si pour un écart   on peut trouver un seuil   tel que :   et on écrira alors  .

Limites infiniesModifier

Cas où la limite de f est +∞ quand x tend vers +∞Modifier

 
 

Idée intuitive : On dit que   tend vers   quand   tend vers   lorsque pour   suffisamment grand,   peut devenir aussi grand que l'on veut.

Formulation mathématique : On dit que   tend vers   quand   tend vers   lorsque quel que soit le réel  , il existe   tel que quel que soit  ,  .

Notation : Dans ce cas, on note  .

Autres casModifier

Les autres cas sont résumés par les trois graphiques suivants :

     
     

Absence de limite en l'infiniModifier

Une fonction peut très bien ne pas avoir de limite en l'infini. La fonction sinus en est un exemple typique.

Limite d'une suiteModifier

Article détaillé : Limite de suite.

IntroductionModifier

Les suites sont le type particulier des fonctions dont le domaine de définition est   ou une partie de  . Il est donc inutile de considérer la limite éventuelle d'une suite en un point   négatif, ou non entier, ou encore en  . Ce qui nous laisse comme possibilités a priori, les entiers naturels et  .

Mais on voit rapidement que l'étude de la limite d'une suite en un entier   serait inintéressante ; en effet l'ensemble   est discret c'est-à-dire que ses points « ne sont pas voisins les uns des autres », et donc il est sans intérêt d'étudier le comportement local d'une suite. Ainsi le seul cas de figure envisageable est le cas de la limite d'une suite en  , et l'on parlera donc de « limite d'une suite » sans préciser qu'il s'agit d'une limite en  . On pourra même noter   au lieu de  

Définition, convergence, divergenceModifier

La définition d'une suite découle assez naturellement de la restriction à une fonction définie sur   de la définition de la limite en   d'une fonction quelconque.

  • Cas d'une limite finie   : pour tout « écart de tolérance »   il existe un « rang de confiance »   tel que, pour   à partir du rang  , la valeur   est proche de   à   près :

 

On note alors  , et on dit que   tend (ou plutôt converge) vers  .

Une suite qui admet une limite finie est dite convergente. On a la propriété suivante : Toute suite convergente est bornée.

  • Cas d'une limite infinie : pour tout « seuil de tolérance »   on peut trouver un « rang de confiance » à partir duquel les valeurs de   sont supérieures (resp. inférieures) à   :
    •   pour  
    •   pour  

On dit alors que   tend (ou plutôt diverge) vers   (resp. vers  ).

NB : on parle de suite convergente seulement lorsqu'une suite admet une limite finie, et de suite divergente dans tous les autres cas, c'est-à-dire pour les suites divergeant vers   ou pour les suites n'ayant pas de limite.

Exemples :

  tend vers 0
  tend vers  
  prend alternativement les valeurs 1 et -1 et n'a aucune limite.

Théorèmes assurant la convergenceModifier

Théorème 1 : toute suite majorée croissante est convergente.

Théorème 2 : toute suite minorée décroissante est convergente.

Suites extraitesModifier

On appelle suite extraite de la suite   une suite qu'on construit en énumérant les termes de   sauf certains qu'on laisse de côté ; ainsi on ne garde qu'une partie de l'information. L'exemple le plus classique est celui des suites   qui est formée par les termes de rang pair, et   qui est formée par les termes de rang impair.

Plus généralement, on appelle « extraction » toute application   strictement croissante. Alors une suite extraite est une suite de la forme  .

Une propriété importante est que si une suite   admet une limite (finie ou infinie) alors toute suite extraite   admet la même limite.

NB : la réciproque est en général fausse, ainsi qu'on peut le constater en prenant la suite   ; alors   est la suite constante égale à   et donc elle converge vers  , ce qui n'est pas le cas de la suite   qui est divergente.

On peut par contre affirmer : Si les suites   et   admettent la même limite, alors la suite   admet elle aussi cette limite commune. On peut donc ramener l'étude de la convergence d'une suite à celle des suites de rangs pair et impair qui peuvent s'avérer plus simples.

NotesModifier

  1. a et b C'est cette définition de limite d'une fonction qui est désormais en vigueur en France (programmes - plus ou moins précis - régulièrement publiés au Bulletin officiel) dans l'enseignement secondaire et les classes préparatoires, supplantant la définition historique de Weierstrass qui correspond à celle appelée dès lors « limite épointée » ou « limite par valeurs différentes » (Limite). Mais dans les universités françaises (et dans les autres pays [1]), la définition « historique » reste parfois celle enseignée : cf par exemple Mathématiques L1, Cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés sous la direction de J.-P. Marco et L. Lazzarini (2007) Pearson, (ISBN 9782744072581), p. 691-692, ou encore Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence. Niveau L1 sous la direction de J.-P. Ramis et A. Warusfel (2006) Dunod, (ISBN 210049614X), p. 588.
  2. Cette remarque est détaillée dans la leçon sur les fonctions d'une variable réelle sur Wikiversité.

ComplémentsModifier

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