Limites de référence

Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux bornes du domaine de définition.

En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition donc si , on a .

Fonctions polynomiales et rationnellesModifier

Fonctions constantesModifier

 
avec  
  •  

Monômes...Modifier

 
avec  
  • En   :  
  • En   :
    • Pour   pair :  
    • Pour   impair :  

...et leurs inversesModifier

 
avec  
  • En   :  
  • En   les fonctions ne sont pas définies :
    • Pour   pair :  
    • Pour   impair :
      •  
      •  

PolynômesModifier

Les limites en   d'une fonction polynomiale   avec   sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré  , dit terme prédominant.

On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de   et le signe de  .

Monômes de puissance quelconqueModifier

Puissances positives :

 
avec  
  •  
  • Cas particulier :
     , donc  

Puissances négatives :

 
avec  
  •  
  •  

Fonctions logarithmes, exponentielle et puissancesModifier

LogarithmesModifier

Logarithme népérien (ou naturel) :

 
  •  
  •  

Logarithme de base   :

 
avec  
  • Base   :
    •  
    •  
  • Base   :
    •  
    •  

Exponentielle et puissance d'un réel positifModifier

La fonction exponentielle :

 
  •  
  •  

Fonction exponentielle de base a :

 
avec  
  • Base   :
    •  
    •  
  • Base   :
    •  
    •  

Fonctions trigonométriques et hyperboliquesModifier

Fonctions trigonométriquesModifier

Tangente :

 
Remarque :
 
  • Pour tout entier relatif   :
    •  
    •  

Cotangente :

 
Remarque :
 
  • Pour tout entier relatif   :
    •  
    •  

Autres fonctions trigonométriques :

Fonctions hyperboliquesModifier

Sinus hyperbolique :

 
  •  
  •  

Cosinus hyperbolique :

 
  •  
  •  

Tangente hyperbolique :

 
  •  
  •  

Fonctions réciproquesModifier

Arc tangente :

 
  •  
  •  

Argument sinus hyperbolique :

 
  •  
  •  

Argument cosinus hyperbolique :

 
  •  

Argument tangente hyperbolique :

 
  •  
  •  

Suites usuellesModifier

Une suite est en général définie terme-à-terme en fonction de n :

 

ou alors définie par son premier terme   et une relation de récurrence :

 

Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction   en   ; dans le second l'étude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.

Suites arithmétiquesModifier

 

Dans ce cas   et   est appelé la raison de la suite   : on peut donner une expression directe de   :  .

  • Si   on a :  
  • Si   on a :  

Suites géométriquesModifier

 

Dans ce cas   et   est encore appelé la raison de la suite   : on peut donner une expression directe de   :  .

  • Si   on a :  
  • Si   on a :  
  • Si   on a :  
  • Si   alors   n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :
 
 

Suites arithmético-géométriquesModifier

 

Dans ce cas   (avec  ) et on peut donner une expression directe de   :  .

  • Si   on a :  
  • Si   on a :  
  • Si   alors   n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :
 
 

Suites homographiquesModifier

 

Dans ce cas   (avec   et  ) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de  . Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant   de l'équation .

  • Si   la suite ne peut pas avoir de limite.
  • Si   la seule limite   possible est  .
  • Si   les seules limites   possibles sont   ou  .

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial   la distance   pour chaque valeur éventuelle de  .

Voir aussiModifier