Théorème de préparation de Weierstrass

En mathématiques, le théorème de préparation de Weierstrass désignait dans un premier temps un outil utilisé dans la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes. L'énoncé et les preuves ont par la suite été généralisés à un cadre purement algébrique : le théorème désigne maintenant un résultat d'algèbre commutative.

Plusieurs variables complexes

Le théorème affirme qu'au voisinage d'un point P, une fonction analytique de plusieurs variables complexes est le produit d'une fonction non nulle en P, et d'un polynôme unitaire $f_{0}+f_{1}z+\cdots +f_{k-1}z^{k-1}+z^{k}$ en l'une des variables $z$, où les $f_{i}$ sont des fonctions analytiques des autres variables et vérifient $f_{i}(P)=0$.

Algèbre commutative

On peut en fait se passer du caractère convergent des séries et on dispose de l'analogue pour des séries formelles : si f est une série formelle non nulle en n indeterminées à coefficients dans un corps k, alors en la voyant comme une série formelle en la dernière indéterminée on peut l'écrire d'une unique façon f = ug où u est une série formelle inversible et g est un polynôme à coefficients dans l'anneau des séries formelles en les n – 1 premières indeterminées et dont le degré est majoré par la valuation de f.

Ce résultat peut même être généralisé de la manière suivante : soit (A, m) un anneau local complet et séparé pour la topologie m-adique (c'est le rôle de $(k[[\mathrm {X} _{1},\dots ,\mathrm {X} _{n-1}]],(\mathrm {X} _{1},\dots ,\mathrm {X} _{n-1}))$ dans l'énoncé précédent) et f une série formelle à coefficients dans A telle que certains de ses coefficients ne soient pas dans m (c'est l'hypothèse f non nulle). Alors notant s le plus petit de ces coefficients, l'anneau $B:=A[[X]]$ est somme directe de fB et du A-module engendré par les s premières puissances de X.

Preuve du premier résultat en utilisant le second

Les rôles ayant été précisés et la dernière indéterminée étant notée $X$, on décompose $X^{s}$ sur la somme directe : il existe donc un unique (s + 1)-uplet de séries $(v,u_{0},...,u_{s-1})$ où les s dernières sont des séries en les n – 1 premières indeterminées et tel que

$X^{s}=fv+u_{0}+u_{1}X+\dots +u_{s-1}X^{s-1}$,

mais alors en observant les ordres relativement à $X$ dans l'égalité

$X^{s}-(u_{0}+u_{1}X+\dots +u_{s-1}X^{s-1})=fv$

on voit successivement que les $u_{i}$ sont de terme constant nul puis que v est inversible, ce qui conduit à

$v^{-1}\left(X^{s}-u_{0}-u_{1}X-\dots -u_{s-1}X^{s-1}\right)=f$.

Pour l'unicité on remarque qu'une décomposition

$f=u\left(X^{s}+u_{0}+u_{1}X+\dots +u_{s-1}X^{s-1}\right)$

conduit à écrire

$u^{-1}f-\left(u_{0}+u_{1}X+\dots +u_{s-1}X^{s-1}\right)=X^{s}$

qui est unique car la somme B = fB + degré plus petit que s-1 est directe.

Preuve du second résultat

Pour l'unicité de la décomposition on utilise la séparation de l'anneau des séries formelles pour la topologie n-adique ou n est l'idéal engendré par m et X. Pour l'existence c'est la complétude qui entre en jeu...

Cas particulier

Ce théorème possède de nombreux analogues ou variantes, encore désignés sous le nom de théorème de préparation de Weierstrass. Par exemple, on dispose du résultat suivant sur les séries formelles à coefficients dans l'anneau $\mathbb {Z} _{p}$ des entiers $p$-adiques, où $p$ est un nombre premier.

Soit $F=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}$ une série formelle à coefficients dans $\mathbb {Z} _{p}$.

On suppose que $F$ n'est pas divisible par $p$, c'est-à-dire qu'au moins l'un des coefficients de $F$ n'est pas divisible par $p$. On note $k$ l'entier minimal tel que $a_{k}$ n'est pas divisible par $p$.

Alors il existe un polynôme $G$ de $\mathbb {Z} _{p}[X]$ et une série formelle $H$ de $\mathbb {Z} _{p}[[X]]$ tels que

1. $F=GH$
2. $G$ est unitaire de degré $k$ et $H$ est inversible dans $\mathbb {Z} _{p}[[X]]$.

De plus, $G$ et $H$ sont déterminés de manière unique.

Remarque. Dans le cas particulier où $F$ est un polynôme de degré N et 1 ≤ k ≤ N - 1, on peut montrer que $H$ est un polynôme de degré N - k, ce qui fournit une factorisation non triviale de $F$. Ce résultat s'apparente au lemme de Hensel : on passe d'une factorisation dans $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} [X]$ à une factorisation dans $\mathbb {Z} _{p}[X]$.

L'analogie avec le théorème concernant les fonctions analytiques vient du fait que les éléments de $\mathbb {Z} _{p}$ peuvent être considérés comme des séries entières en la variable $p$, via le développement de Hensel.

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