Théorème de densité de Tchebotariov

En théorie algébrique des nombres, le théorème de Tchebotariov, dû à Nikolai Tchebotariov et habituellement écrit[1] théorème de Chebotarev[2], précise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progression arithmétique : il affirme que, si a, q ≥ 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers congrus à a modulo q vaut 1/φ(q).

Énoncé

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Le cadre du théorème de Tchebotariov est le suivant : on considère une extension galoisienne   de corps de nombres, de groupe de Galois  . Pour tout idéal entier   de  , on note   la norme de  .

Considérons un idéal premier   de   non ramifié dans  , et soit   un idéal premier de   au-dessus de  .

On montre qu'il existe un unique élément   caractérisé par la relation suivante : pour tout élément  , on a

 

Si   n'est pas abélien, cela dépend du choix de   : en effet, si   est un autre idéal premier au-dessus de  , il existe un élément   tel que  , et alors   et   sont conjugués dans  .

On considère alors la classe de conjugaison  , que l'on nomme symbole de Frobenius de   dans  , encore noté (par abus)  . Remarquons que, si   est abélien, cette classe est réduite à un seul élément.

Nous pouvons alors énoncer le théorème que Tchebotariov démontra dans sa thèse en 1922 :

Théorème de Tchebotariov —  Soit   une classe de conjugaison dans  . Alors l'ensemble des idéaux premiers   de  , non ramifiés dans  , et tels que  , a pour « densité naturelle[3] »  .

La version quantitative du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique en découle, en appliquant le théorème précédent à une extension cyclotomique de ℚ.

Notes et références

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  1. Fautivement, par influence de l'anglais : voir Transcription du russe en français.
  2. Jean-Pierre Serre, « Quelques applications du théorème de densité de Chebotarev », Publ. Math. IHES, vol. 54,‎ , p. 123-201 (lire en ligne).
  3. Pour la signification particulière de ce terme dans ce contexte, voir Serre 1981, p. 131.