Théorème de Kurosh sur les sous-groupes

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de Kurosh sur les sous-groupes d'un produit libre décrit la structure algébrique des sous-groupes d'un produit libre de groupes. Le théorème est dû au mathématicien soviétique Aleksandr Kurosh qui l'a publié en 1934[1]. De manière informelle, le théorème dit que tout sous-groupe d'un produit libre de groupes est lui-même le produit libre d'un groupe libre et de ses intersections avec les conjugués des facteurs du produit libre de départ.

Historique et généralisationsModifier

Après la preuve originale de Kurosh de 1934, de nombreuses autres démonstrations ont été données, notamment celles de Harold W. Kuhn en 1952[2], de Saunders Mac Lane en 1958[3] et d'autres encore. Le théorème a également été généralisé pour décrire les sous-groupes de produits amalgamés libres et d''extensions HNN[4],[5]. D'autres généralisations incluent le cas de sous-groupes de produits profinis libres[6] et une version du théorème de Kurosh pour les groupes topologiques[7].

Dans un cadre contemporain, le théorème de Kurosh est un corollaire immédiat des résultats structurels de base de la théorie de Bass-Serre (en) sur les actions de groupes sur les arbres[8].

ÉnoncéModifier

Soit   le produit libre de groupes   pour   et soit   un sous-groupe de  . Alors

 ,

 est un sous-groupe libre de  ,   est un ensemble d'indices, et pour chaque   ,   et  est un sous-groupe d'un  .

Si de plus l'indice  est fini et égal à  alors le groupe libre   est de rang

 [9],[10],[11].

Articles connexesModifier

Notes et référencesModifier

  1. Aleksandr G. Kurosh, « Die Unterprodukte der freien Produkte von beliebigen Gruppen », Mathematische Annalen, vol. 109,‎ , p. 647-660 (lire en ligne).
  2. Harold W. Kuhn, « Subgroup theorems for groups presented by generators and relations », Annals of Mathematics (2), vol. 56,‎ , p. 22-46.
  3. Saunders Mac Lane, « A proof of the subgroup theorem for free products », Mathematika, vol. 5,‎ , p. 13–19.
  4. Abraham Karrass et Donald Solitar, « The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 150,‎ , p. 227–255.
  5. Abraham Karrass et Donald Solitar, « Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation », Journal canadien de mathématiques, vol. 23,‎ , p. 627–643.
  6. (ru) Pavel Aleksandrovich Zalesskii, « Open subgroups of free profinite products over a profinite space of indices », Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 34, no 1,‎ , p. 17–20
  7. Peter Nickolas, « A Kurosh subgroup theorem for topological groups », Proceedings of the London Mathematical Society (3), vol. 42, no 3,‎ , p. 461–477 (Math Reviews 0614730).
  8. Daniel E. Cohen, Combinatorial group theory: a topological approach, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Student Texts » (no 14), (ISBN 0-521-34133-7 et 0-521-34936-2).
  9. Derek John Scott Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag, (ISBN 978-1-4612-6443-9), Theorem 6.3.1.: The Kuroš Subgroup Theorem.
  10. Wilfried Imrich, Combinatorial Mathematics V : Subgroups and Graphs, Springer Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 622),   Chapitre 9 : The Kurosh Subgroup Theorem.
  11. Wilhelm Specht, Gruppentheorie, Springer-Verlag, , Kapitel 2.2.2, Satz 8.