Théorème de Dubins-Schwarz

Le théorème de Dubins-Schwarz (aussi théorème de Dambis-Dubins-Schwarz) est un théorème de calcul stochastique, qui caractérise toutes les martingales continues, locales ou non, comme mouvements browniens.

Le théorème a été prouvé en 1965 par Lester Dubins et Gideon E. Schwarz et, indépendamment, par K. E. Dambis, un doctorant d'Eugène Dynkine.

Théorème de Dubins-Schwarz

On note:

• $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}$ une filtration.
• ${\mathcal {M}}_{0,\operatorname {loc} }^{c}$ est l'espace des martingales locales, $\mathbb {F}$-adapté, continue $M=(M_{t})_{t\geq 0}$ avec $M_{0}=0$.
• $\langle M\rangle$ est la variation quadratique.

Théorème — Soit $M\in {\mathcal {M}}_{0,\operatorname {loc} }^{c}$ avec $\langle M\rangle _{\infty }=\infty$, on définit le temps d'arrêt pour chaque $t\geq 0$

$T_{t}=\inf\{s:\langle M\rangle _{s}>t\}.$

Alors $B:=(B_{t})_{t\geq 0}:=(M_{T_{t}})_{t\geq 0}$ est un $({\mathcal {F}}_{T_{t}})$-mouvement brownien et $M_{t}=B_{\langle M\rangle _{t}}$.