Variation quadratique
En mathématiques, la variation quadratique est utilisée dans l'analyse des processus stochastiques, comme le mouvement brownien et autres martingales[1]. La variation quadratique est un type de variation d'un processus.
Définition modifier
Pour un processus quelconque modifier
Si est un processus stochastique à valeurs réelles défini sur un espace probabilisé et avec un indice de temps qui parcourt les nombres réels positifs, sa variation quadratique est le processus, noté , défini par :
![{\displaystyle [X]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4b700663439c3b9e16662c2382dbb2af8a671b)
- ,
![{\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8647cd8fd0d88ad0347388c931368ce0d21dd22e)
où parcourt les subdivisions de l'intervalle et la norme de la subdivision est son pas. Cette limite, si elle existe, est définie à l'aide de la convergence en probabilité. Un processus peut avoir une variation quadratique finie au sens de la définition ci-dessus, tout en ayant ses parcours presque sûrement de variation quadratique infinie pour tous les , au sens classique où l'on prend la borne supérieure de la somme sur toutes les subdivisions ; c'est notamment le cas du mouvement brownien[2].
![{\displaystyle [0,t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d2d2fa44908c699e2b7b7b9e92befc8283f264)
Plus généralement, la covariation de deux processus et est :
- .
![{\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right)={\tfrac {1}{4}}([X+Y]_{t}-[X-Y]_{t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfeb8dc6433f76ee2c44e0642d91d454eccc05f5)
Pour une martingale modifier
Avec les mêmes hypothèses, si est de plus une martingale, alors est une sous-martingale (d'après l'inégalité de Jensen conditionnelle). Par décomposition de Doob-Meyer on peut donc écrire de façon unique comme la somme d'une martingale et d'un processus prévisible croissant . Une définition alternative possible de la variation quadratique (de la martingale ) est alors :
- .
![{\displaystyle [X]_{t}:=A_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a7bb78fc54ec4a1e64b19dd31905ca0aa5fdfb)
Autrement dit, la variation quadratique de est le seul processus prévisible croissant tel que soit une martingale.
On peut montrer[3] que ces deux définitions sont bien sûr équivalentes quand est une martingale.
![{\displaystyle X_{t}^{2}-[X]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd460a756e878a7bbb7e39405a9a702229ecb782)
Exemples modifier
La variation quadratique d'un mouvement brownien standard est:
![{\displaystyle [X]_{t}=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63dbd9fcaf14fd78c78eabf260b2ab82e4927366)
Notes et références modifier
- (en) Rajeeva L. Karandikar et B. V. Rao, « On quadratic variation of martingales », Proceedings - Mathematical Sciences (en), vol. 124, no 3, , p. 457-469 (DOI 10.1007/s12044-014-0179-2).
- (en) Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, , 2e éd. (présentation en ligne).
- (en) Ioannis Karatzas et Steven Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, coll. « graduate texts in mathematics », , XXIII, 470 (ISBN 978-0-387-97655-6, DOI 10.1007/978-1-4612-0949-2, lire en ligne), theorem 5.8 (page 32)
