Théorème d'Ostrowski

En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème de théorie des nombres démontré en 1916 par Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur le corps ℚ des rationnels est équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques.

Plus précisément et plus généralement[1], le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x ↦ |f(x)|c, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0 < c ≤ 1. Or les valeurs absolues ultramétriques sur K sont celles induites par une valuation réelle, et pour K = ℚ les valuations réelles sont les valuations p-adiques.

Valeur absolue

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Soit K un corps. Une valeur absolue sur K est une application | ∙ | de K dans l'ensemble des réels positifs, vérifiant :

  1.  
  2.  
  3.  

L'application (x, y) ↦ |y – x| est alors une distance sur K.

Si la valeur absolue vérifie la condition   plus forte que la condition 3, alors la valeur absolue est dite ultramétrique.

Valeur absolue triviale

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La valeur absolue triviale | ∙ |0 sur un corps est définie par  

Valeur absolue usuelle

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La valeur absolue usuelle | ∙ | sur ℚ est définie par  

Valeur absolue p-adique

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Pour un nombre premier p fixé, tout rationnel non nul x s'écrit de manière unique sous la forme   ,   sont des entiers relatifs,   est un entier strictement positif tels que   et   sont premiers entre eux, et   ne divise ni   ni  .

L'entier n est la valuation p-adique de x. La valeur absolue p-adique | ∙ |p sur ℚ est alors définie par  

Elle est ultramétrique.

Valeurs absolues équivalentes

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Deux valeurs absolues sur un corps K sont dites équivalentes lorsque les distances associées sont topologiquement équivalentes. Elles sont alors puissance l'une de l'autre avec un exposant strictement positif.

Théorème d'Ostrowski

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Théorème[2] — Toute valeur absolue non triviale sur ℚ est équivalente à la valeur absolue usuelle | ∙ | ou à l'une des valeurs absolues p-adiques | ∙ |pp est un nombre premier.

Complétés du corps des nombres rationnels

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Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complétés du corps ℚ. Si l'on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à ℝ. On pourra consulter la construction des nombres réels pour plus d'information.

Si l'on complète le corps ℚ par une valeur absolue p-adique, on obtient des corps complets très différents de celui des réels : les corps p-adiques. Cela ouvre les portes de l'analyse p-adique.

Notes et références

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  1. Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 36.
  2. (de) Alexander Ostrowski, « Über einige Lösungen der Funktionalgleichung   », Acta Mathematica, vol. 41, no 1,‎ , p. 271-284 (DOI 10.1007/BF02422947).

Voir aussi

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Bibliographie

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Liens externes

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