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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Ostrowski.

En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème de théorie des nombres démontré en 1916 par Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur le corps ℚ des rationnels est équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques.

Plus précisément et plus généralement[1], le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x ↦ |f(x)|c, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0 < c ≤ 1. Or les valeurs absolues ultramétriques sur K sont celles induites par une valuation réelle, et pour K = ℚ les valuations réelles sont les valuations p-adiques.

Sommaire

Valeur absolueModifier

Article détaillé : Valeur absolue.

Soit K un corps. Une valeur absolue sur K est une application | ∙ | de K dans l'ensemble des réels positifs, vérifiant :

  1.  
  2.  
  3.  

L'application (x, y) ↦ |y – x| est alors une distance sur K.

Si la valeur absolue vérifie la condition   plus forte que la condition 3, alors la valeur absolue est dite ultramétrique.

Valeur absolue trivialeModifier

La valeur absolue triviale | ∙ |0 sur un corps est définie par  

Valeur absolue usuelleModifier

La valeur absolue usuelle | ∙ | sur ℚ est définie par  

Valeur absolue p-adiqueModifier

Article détaillé : Nombre p-adique.

Pour un nombre premier p fixé, tout rationnel non nul x s'écrit de manière unique sous la forme   ,   sont des entiers relatifs,   est un entier strictement positif tels que   et   sont premiers entre eux, et   ne divise pas ni   ni  .

L'entier n est la valuation p-adique de x. La valeur absolue p-adique | ∙ |p sur ℚ est alors définie par  

Elle est ultramétrique.

Valeurs absolues équivalentesModifier

Deux valeurs absolues sur un corps K sont dites équivalentes lorsque les distances associées sont topologiquement équivalentes. Elles sont alors puissance l'une de l'autre avec un exposant strictement positif.

Théorème d'OstrowskiModifier

Théorème[2] — Toute valeur absolue non triviale sur ℚ est équivalente à la valeur absolue usuelle | ∙ | ou à l'une des valeurs absolues p-adiques | ∙ |pp est un nombre premier.

Complétés du corps des nombres rationnelsModifier

Article détaillé : Complété d'un espace métrique.

Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complétés du corps ℚ. Si l'on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à ℝ. On pourra consulter la construction des nombres réels pour plus d'information.

Si l'on complète le corps ℚ par une valeur absolue p-adique, on obtient des corps complets très différents de celui des réels : les corps p-adiques. Cela ouvre les portes de l'analyse p-adique.

Notes et référencesModifier

  1. Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 36.
  2. (de) Alexander Ostrowski, « Über einige Lösungen der Funktionalgleichung   », Acta Mathematica, vol. 41, no 1,‎ , p. 271-284 (DOI 10.1007/BF02422947).

Voir aussiModifier

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BibliographieModifier

Liens externesModifier