Tenseur énergie-impulsion

Outil mathématique de relativité générale
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Le tenseur énergie-impulsion est un outil mathématique utilisé notamment en relativité générale afin de représenter la répartition de masse et d'énergie dans l'espace-temps.

La théorie de la relativité restreinte d'Einstein établissant l'équivalence entre masse et énergie, la théorie de la relativité générale indique que ces dernières courbent l'espace. L'effet visible de cette courbure est la déviation de la trajectoire des objets en mouvement, observé couramment comme l'effet de la gravitation.

HistoireModifier

Le tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique a été écrit, pour la première fois, par Joseph Larmor (-) en dans l'essai qui lui a permis de remporter le prix Adams et qu'il a publié en dans Aether and Matter[1].

En , Hermann Minkowski (-) introduit la notion de tenseur énergie-impulsion[2],[3],[4]. Mais il ne l'applique qu'au champ électromagnétique[2]. C'est à Max von Laue (-) qu'est due — semble-t-il — l'usage général du tenseur pour décrire la dynamique de m'importe quel type de matière ou de champ[2] : en , il en donne une décomposition générale[2],[5],[6].

En , Max Planck (-) énonce la propriété d'égalité — à un facteur c2 près — du flux d'énergie et de la densité d'impulsion[2],[7],[8] ; propriété qu'en , Henri Poincaré (-) avait établie dans le cas particulier du champ électromagnétique[2],[9],[10].

Tenseur énergie-impulsionModifier

 
Les composants du tenseur énergie-impulsion.

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4 × 4 réelle symétrique :

 

Ce tenseur dérive des flux du quadri-moment (quadrivecteur impulsion-énergie) à travers des surfaces de coordonnée   constante.

On y retrouve les grandeurs physiques suivantes :

  • T00 est la densité d'énergie[11]. Elle est positive ;
  • T0i est le flux d'énergie à travers la surface unité suivant i[11] ;
  • Ti0 est la densité de la ie composante d'impulsion[11] ;
  • Par symétrie, {T01, T02, T03 }={T10, T20, T30} et sont donc aussi des densités de moments.
La sous-matrice 3 × 3 des composantes spatiale :
 

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

ConstructionModifier

Pour une théorie décrite par une densité lagrangienne  , l'action s'écrit comme une intégrale sur l'espace-temps :

 

  est le déterminant du tenseur métrique de l'espace-temps. Le tenseur énergie-impulsion associé est défini par la variation de l'action par rapport à la métrique inverse :

 

ExemplesModifier

Pour un fluide au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale diag(ρc^2,-p,-p,-p)ρ est la masse volumique et p la pression hydrostatique.

PropriétésModifier

Le tenseur énergie-impulsion est un tenseur d'ordre 2[12],[13],[14].

Il est symétrique[12],[15],[16] :

 .

Le tenseur énergie-impulsion est de divergence nulle[12] :

 .

Dans le cas d'un fluide parfait, où  , en métrique plate, cette condition de divergence nulle redonne l'équation de conservation de la masse en régime permanent : div (ρv) = 0

Dimension et unitéModifier

En analyse dimensionnelle, les tenseur énergie-impulsion est homogène à une densité (volumique) d'énergie, c'est-à-dire au produit d'une densité d'impulsion par une vitesse[17].

Dans le Système international d'unités, son unité est le joule par mètre cube (J m−3)[17], unité dérivée de l'énergie volumique[18],[19] :

1 J · m–3 = 1 kg · m–1 · s–2.

Relativité généraleModifier

Le vide est, en relativité générale, une région de l'espace-temps où le tenseur énergie-impulsion s'annule[20],[21].

Notes et référencesModifier

  1. Jones 2017, § 10.7.5, p. 266.
  2. a b c d e et f Gourgoulhon 2010, p. 626, n. historique.
  3. Gourgoulhon 2010, p. 745, réf. 289.
  4. Minkowski 1908.
  5. Gourgoulhon 2010, p. 741, réf. 243.
  6. Laue 1911.
  7. Gourgoulhon 2010, p. 747, réf. 327.
  8. Planck 1908.
  9. Gourgoulhon, p. 747, réf. 329.
  10. Poincaré 1900.
  11. a b et c Barrau et Grain 2016, p. 81.
  12. a b et c Barrau et Grain 2016, p. 82.
  13. Semay et Silvestre-Brac 2016, p. 258.
  14. Taillet, Villain et Febvre 2018, p. 721.
  15. Gourgoulhon 2010, p. 625.
  16. Semay et Silvestre-Brac 2016, p. 260.
  17. a et b Gourgoulhon 2010, § 19.1.1, p. 621.
  18. Pérez 2016, chap. 10, sect. II, § II.8, p. 249.
  19. Dubesset 2000, 1re part., tabl. 4, s.v. énergie volumique, p. 3.
  20. Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 8, § 8.6, p. 181.
  21. Penrose 2007, chap. 19, § 19.6, p. 447.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Publications originalesModifier

Ouvrages d'introductionModifier

Manuels d'enseignement supérieurModifier

Dictionnaires et encyclopédiesModifier

DiversModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier