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En mathématiques, la suite de Farey d'ordre est la suite des fractions irréductibles comprises entre 0 et 1, ordonnées en croissant et dont le dénominateur est inférieur ou égal à Certains auteurs ne restreignent pas les suites de Farey à l'intervalle de 0 à 1[1]

Chaque suite de Farey commence avec la valeur 0, décrite par la fraction et finit avec la valeur 1, décrite par la fraction (bien que certains auteurs omettent ces termes). Une suite de Farey est quelquefois appelée série de Farey, ce qui n'est pas véritablement correct, les termes n'étant pas additionnés.

ExemplesModifier

Les suites de Farey d'ordre 1 à 8 sont :

 
 
 
 
 
 
 
 

HistoireModifier

L'histoire des 'séries de Farey' est très curieuse — Hardy & Wright (1979) Chapitre III
... une fois encore, l'homme dont le nom fut donné à la relation mathématique n'était pas celui qui l'a découverte. — Beiler (1964) Chapitre XVI

Les suites de Farey furent nommées en l'honneur du géologue britannique, Sir John Farey. Sa lettre à propos de ces suites fut publiée dans le Philosophical Magazine en 1816. Farey conjectura que chaque terme dans une telle suite est le médian de ses voisins — néanmoins, à ce que l'on connaît, il ne prouva pas cette propriété. La lettre de Farey fut lue par Cauchy, qui donna la preuve dans ses Exercices de mathématique, et attribua ce résultat à Farey. En fait, un autre mathématicien, Charles Haros (en), publia des résultats similaires en 1802 qui ne fut pourtant certainement pas autant connu que Farey ou Cauchy. Ainsi, c'est un accident historique qui relie le nom de Farey à ces suites.

PropriétésModifier

Nombre de termes d'une suite de FareyModifier

La suite de Farey d'ordre   contient tous les éléments des suites de Farey d'ordre inférieur. En particulier,   contient tous les éléments de la suite   ainsi qu'une fraction supplémentaire pour chaque entier inférieur à   et premier avec   Ainsi, la suite   est composée des éléments de la suite   auxquels il faut ajouter les fractions   et   Le terme médian d'une suite de Farey est toujours   lorsque  

Il est possible de relier le nombre de termes de   (noté  ) et celui de   en utilisant l'indicatrice d'Euler   :

 

En utilisant le fait que   le nombre de termes de   peut donc s'exprimer en fonction de   de la façon suivante :

 

Le comportement asymptotique de   est :

 

Les voisins dans une suite de FareyModifier

Deux fractions consécutives dans une suite de Farey   sont dites voisines ou consécutives à l'ordre   Par exemple les fractions   et   sont voisines aux ordres 5, 6 et 7.

La notion de voisinage est relative à la suite considérée: deux fractions voisines à l'ordre   peuvent ne plus l'être à l'ordre   pour un   plus grand. Par exemple   et   ne sont plus voisines dans   puisque   est venue s'intercaler entre les deux.

Mathématiquement, deux fractions irréductibles   et   sont voisines à l'ordre   si   et s'il n'y a aucune autre fraction dans   qui soit comprise entre   et   c'est-à-dire si pour toute fraction   telle que   on a  

La propriété fondamentale des suites de Farey est une caractérisation très simple de la relation de voisinage :

Deux fractions irréductibles   et   sont consécutives à l'ordre   ssi la relation   est vérifiée.

En divisant les deux membres par   on voit que la relation peut également s'écrire :

 

La quantité   est parfois appelée produit en croix ou déterminant des deux fractions ; elle dépend de la représentation choisie des deux fractions, aussi il faut bien supposer dans la propriété ci-dessus que les deux fractions sont en forme irréductibles (ce qui est implicite dans la définition de consécutives). Par exemple si on considère les fractions   et   qui sont voisines dans  , leur produit en croix est   qui est bien égal à   Mais si on considère une représentation non irréductible des deux mêmes fractions, par exemple   et   alors leur produit en croix est  

Attention également à la condition sur l'ordre de la suite de Farey considérée : le fait que la relation est vérifiée n'implique pas que les deux fractions sont voisines dans toutes les suites de Farey ; en fait on va voir qu'elles sont voisines jusqu'à l'ordre   mais plus après. Ainsi   et   sont voisines aux ordres     et   mais plus à l'ordre  

La seconde propriété fondamentale des suites de Farey est que l'on peut facilement déterminer la première fraction à venir s'intercaler entre deux voisines:

Si   et   sont consécutives dans la suite d'ordre   et si   est la fraction médiane:

 

alors les fractions     et   sont consécutives dans la suite d'ordre  

Par exemple si on reprend les deux fractions   et   voisines dans   on a vu que la première fraction à s'intercaler est   qui est bien la médiane.

 
Interprétation géométrique de la médiane de deux fractions

L'emploi du terme médiane s'explique géométriquement : on se place dans le plan euclidien, on nomme   l'origine du repère ; à la fraction   on associe le point   de coordonnées   ; ainsi   est la pente de la droite du plan   issue de   et passant par   Si   est le point de coordonnées   associé à la fraction  alors le milieu de   et   a pour coordonnées   et   ; on voit que la fraction médiane   est alors la pente de la médiane issue de   du triangle  

La propriété se démontre en utilisant la caractérisation des fractions voisines vue précédemment; de plus sous les hypothèses ci-dessus, notamment que   et   sont irréductibles, la fraction médiane   est automatiquement irréductible également.

La médiane est parfois également appelée somme du cancre ce qui est trompeur car, comme le produit en croix, elle dépend des représentations des fractions. Si on reprend l'exemple du produit en croix on a:   et   mais la médiane de   et   est   tandis que celle de   et   est   qui n'est pas égale à  Comme pour le produit en croix on se restreindra à ne calculer les médianes que lorsque les fractions sont en forme irréductible de façon à lever toute ambiguïté.

La propriété admet une réciproque : si     et   sont consécutives dans une suite d'ordre  , alors   est la médiane de   et   ; il se peut toutefois, lorsque   et   ne sont pas voisines, que cette fraction médiane ne soit pas irréductible. Par exemple si on considère les trois fractions     et   qui sont consécutives dans la suite   la fraction médiane de   et   est   qui n'est pas irréductible mais redonne   après simplification. De fait   et   ne sont voisines dans aucune suite.

Il existe également une caractérisation du voisinage en termes de fraction continue : si   admet le développement en fraction continue :

 

alors ses deux voisines dans la suite d'ordre   ont pour développement en fraction continue :

 
 

Ainsi   a pour développement en fraction continue   et ses voisines dans   sont   qui admet le développement   et   qui se développe en  

La propriété de la médiane est à la base de la construction de l'arbre de Stern-Brocot, une structure énumérant les fractions irréductibles obtenue en itérant l'opération de médiane à partir de 0 (=  ) et l'infini (=  )

.

Cercles de FordModifier

Il existe une relation intéressante entre les suites de Farey et les cercles de Ford.

Pour toute fraction (réduite)   il existe un cercle de Ford   qui est le cercle de rayon   et de centre   Les cercles de Ford correspondant à deux fractions distinctes sont soit disjoints soit tangents - deux cercles de Ford ne peuvent pas être sécants. Si   alors les cercles de Ford qui sont tangents à   sont précisément les cercles de Ford associés aux fractions qui sont voisines de   dans une suite de Farey.

Ainsi   est tangent à         etc.

Hypothèse de RiemannModifier

Les suites de Farey sont utilisées dans deux formulations équivalentes de l'hypothèse de Riemann. Supposons que les termes de   soient   Définissons   en d'autres termes   est la différence entre le k-ième terme de la n-ième suite de Farey, et le k-ième élément d'un ensemble de même nombre de points, distribués également sur l'intervalle unité. Jérôme Franel[2] a démontré que l'assertion :

 

est équivalente à l'hypothèse de Riemann, puis Landau[3] a remarqué, à la suite de l'article de Franel, que l'assertion :

 

lui est également équivalente.


(  est la notation de domination de Landau).

Un algorithme simpleModifier

De manière surprenante, un algorithme simple existe pour engendrer les termes dans l'ordre croissant ou décroissant :

 100   'Code UBASIC pour engendrer une Suite de Farey d'ordre N dans l'ordre traditionnel
 110   N=7:NumTerms=1
 120   A=0:B=1:C=1:D=N
 140   print A;B
 150   while (C<N)
 160      NumTerms=NumTerms+1
 170      K=int((N+B)/D)
 180      E=K*C-A:F=K*D-B
 190      A=C:B=D:C=E:D=F:print A;B
 200   wend
 210   print NumTerms
 220   end

Cet algorithme se déduit du fait que, si   et   sont deux termes successifs dans une suite de Farey alors les successeurs de   sont tous de la forme   Pour trouver le successeur à l'ordre   il faut trouver le plus grand   tel que   et celui-ci est fourni par la partie entière du quotient de   par  

Pour engendrer la suite dans l'ordre décroissant :

 120   A=1:B=1:C=N-1:D=N
 150   while (A>0)

Des recherches en force brute pour les solutions d'équations diophantiennes rationnelles peuvent souvent prendre l'avantage sur les suites de Farey (pour chercher seulement celles en formes réduites) ; la ligne 120 peut aussi être modifiée pour inclure deux termes adjacents quelconques afin d'engendrer seulement les termes plus grands (ou plus petits) qu'un terme donné.

Notes et référencesModifier

  1. Ivan Niven and Herbert S. Zuckerman, An Introduction to the theory of numbers, third edition, John Wiley and Sons 1972. Definition 6.1. "The sequence of all reduced fractions with denominators not exceeding n, listed in order of their size, is called the Farey sequence of order n." Les auteurs ajoutent: "This definition of the Farey sequences seems to be the most convenient. However, some authors prefer to restrict the fractions to the interval from 0 to 1."
  2. "Les suites de Farey et le théorème des nombres premiers", Gött. Nachr. 1924, 198-201
  3. "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel", Gött. Nachr. 1924, 202-206

BibliographieModifier

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Farey sequence » (voir la liste des auteurs).
  • Actes de l'Académie royale des sciences, belles-lettres et arts de Bordeaux (Valat, rapporteur), « Rapport sur un mémoire d'analyse de M. Stouvenel (sur la théorie de Farey et Cauchy) », C. Lawalle (Bordeaux),‎ , p. 639 (lire en ligne)
  • (en) Albert Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, 2e éd., 1964, Dover (ISBN 0486210960)
  • (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions]

Liens externesModifier