Sous-groupe de Hall

En théorie des groupes (une branche des mathématiques), les sous-groupes de Hall d'un groupe fini sont les sous-groupes dont l'ordre et l'indice sont premiers entre eux. Ils portent le nom du mathématicien Philip Hall.

DéfinitionModifier

Soit   un groupe fini. Un sous-groupe de   est appelé un sous-groupe de Hall de   si son ordre est premier avec son indice dans  . Autrement dit, un sous-groupe   de   est dit sous-groupe de Hall si   est premier avec  . Cela revient encore à dire que pour tout diviseur premier p de  , la puissance à laquelle p figure dans   est la même que celle à laquelle il figure dans  .

PropriétésModifier

  • Si   est un sous-groupe de Hall normal de   alors il est seul de son ordre parmi les sous-groupes de   et est donc caractéristique dans  [1].
  • Le fait ci-dessus a par exemple pour conséquence importante que le complément normal dont le théorème du complément normal de Burnside assure l'existence est non seulement normal mais caractéristique.
  • P. Hall a prouvé[2] que pour tout groupe fini   :
    • si   est résoluble alors, pour tous   et   premiers entre eux tels que  [3],[4],[5] :
      1. il existe au moins un sous-groupe d'ordre  ,
      2. les sous-groupes d'ordre   sont conjugués deux à deux,
      3. tout sous-groupe dont l'ordre divise   est inclus dans l'un d'entre eux ;
    • une réciproque forte du point 1.[6],[7] : pour que   soit résoluble, il suffit qu'il possède un sous-groupe d'indice   pour chaque valeur de  , où   désigne la décomposition en facteurs premiers de  .

ExempleModifier

Parmi les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d figurent en particulier les d = pn, où p est un nombre premier et n l'entier maximum tel que pn divise |G|. Les sous-groupes de Hall correspondants sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G. Hall étend donc à tous les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d le théorème classique sur l'existence des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini, mais seulement sous l'hypothèse supplémentaire que G est résoluble.

Voir aussiModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4e éd., tirage de 1999, exerc. 5.26, p. 107 ; exerc. 5.31, p. 111. Le fait que si G est un groupe fini et H un sous-groupe de Hall normal d'ordre r de G, alors H est l'ensemble des éléments x de G tels que xr = 1 a été énoncé et démontré par (de) G. Frobenius, « Über endliche Gruppen », Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, janvier à mai 1895, p. 170, consultable sur le site Internet Archive. (Référence à Frobenius donnée par (en) W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, 2e éd., 1911, réimpr. Dover, 2004, p. 53.)
  2. Ne pas confondre avec un autre théorème de Hall, résultat combinatoire plus connu sous le nom de « lemme des mariages ».
  3. (en) P. Hall, « A note on soluble groups », J. London Math. Soc., vol. 3,‎ , p. 98-105 (zbMATH 54.0145.01). Hall démontre de plus un analogue du 3e théorème de Sylow (sur le nombre des sous-groupes d'ordre  ).
  4. (en) Harry Goheen, « Proof of a theorem of Hall », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 47, no 2,‎ , p. 143-144 (lire en ligne).
  5. Rotman 1999, theor. 5.28, p. 108.
  6. (en) P. Hall, « A characteristic property of soluble groups », J. London Math. Soc., vol. s1-12, no 3,‎ , p. 198-200 (zbMATH 0016.39204).
  7. Rotman 1999, theor. 5.29, p. 110.