En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation P ou réalisation-P est la représentation dans laquelle l'opérateur d'impulsion p ^ x {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}} appliqué au vecteur propre de cette représentation s'écrit :
p ^ x | p x ⟩ = p x | p x ⟩ {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|p_{x}\right\rangle =p_{x}\left|p_{x}\right\rangle }
Comme l'opérateur p ^ x {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}} est hermitien , on peut montrer pour un vecteur d'état que :
p ^ x | ψ ⟩ = p x | ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|\psi \right\rangle =p_{x}\left|\psi \right\rangle }
Dans cette représentation, l'opérateur de position x ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {x}} } dans l'espace à une dimension est tel que :
⟨ p x | x ^ | ψ ⟩ = ⟨ p x | i ℏ ∂ ∂ p x | ψ ⟩ {\displaystyle \langle p_{x}|\mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =\langle p_{x}|i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }
Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :
x ^ | ψ ⟩ = i ℏ ∂ ∂ p x | ψ ⟩ {\displaystyle \mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }
Il faut distinguer cette représentation de la représentation X dans laquelle l'opérateur de position s'écrit simplement x {\displaystyle x} .
Commutateur [X,P]
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Le commutateur de x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} et p ^ x {\displaystyle \mathbf {{\hat {p}}_{x}} } est défini par :
[ x ^ , p ^ x ] = x ^ p ^ x − p ^ x x ^ {\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}}
On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :
[ x ^ , p ^ x ] | ψ ⟩ = x ^ p ^ x | ψ ⟩ − p ^ x x ^ | ψ ⟩ {\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle ={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle }
En réalisation P, cela s'écrit :
[ x ^ , p ^ x ] | ψ ⟩ = i ℏ ∂ ∂ p x ( p x | ψ ⟩ ) − i ℏ p x ∂ ∂ p x | ψ ⟩ {\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}(p_{x}\left|\psi \right\rangle )-i\hbar p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }
La dérivée d'un produit u v {\displaystyle uv} étant ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ {\displaystyle (uv)'=u'v+uv'} , cela donne :
[ x ^ , p ^ x ] | ψ ⟩ = i ℏ ( ( ∂ ∂ p x p x ) | ψ ⟩ + p x ∂ ∂ p x | ψ ⟩ − p x ∂ ∂ p x | ψ ⟩ ) {\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (({\frac {\partial }{\partial p_{x}}}p_{x})\left|\psi \right\rangle +p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle -p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle )}
[ x ^ , p ^ x ] | ψ ⟩ = i ℏ ( 1 ) | ψ ⟩ = i ℏ | ψ ⟩ {\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (1)\left|\psi \right\rangle =i\hbar \left|\psi \right\rangle }
La valeur du commutateur de x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} et p ^ x {\displaystyle \mathbf {{\hat {p}}_{x}} } est donc :
[ x ^ , p ^ x ] = i ℏ {\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]=i\hbar }
Cette valeur, indépendante de la base, est liée au principe d'incertitude de Heisenberg .