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Relations entre coefficients et racines

Formules de Viète
Page d'aide sur les redirections « Formules de Viète » redirige ici. Pour la formule sur le nombre π, voir Formule de Viète.

Un polynôme de degré sur un corps K s'écrit sous sa forme la plus générale :

est appelé coefficient de .

Si est scindé, on peut aussi le définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de qui annulent [1]. Ainsi, le théorème de d'Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré à coefficients complexes admet exactement racines sur , éventuellement multiples (sur en revanche, ce n'est pas toujours vrai). Il en résulte qu'un polynôme à coefficients complexes peut se réécrire :

,

avec les racines de , éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.

Relations de VièteModifier

Polynômes symétriquesModifier

Article détaillé : Polynôme symétrique.

On définit le  -ième polynôme symétrique, noté  , comme la somme de ses éléments multipliés   fois. Par exemple, les polynômes symétriques associés aux variables  ,  ,   et   sont :

 ,
 ,
 ,
 .

Plus généralement,

 ,
 ,
 
 ,
 
 .

ThéorèmeModifier

Soient   un polynôme scindé de degré   et   ses   racines, éventuellement multiples. Alors,

 .

Ces relations se prouvent en développant le produit  , et en identifiant les coefficients du développement (qui s'expriment à partir des polynômes symétriques des racines) avec les coefficients de  .

ExemplesModifier

  • Cas  . Soient   et   ses racines. Alors[2],
     ,
     .
  • Cas  . Soient   et   ses racines. Alors[3],
     ,
     ,
     .

Sommes de NewtonModifier

Article détaillé : Identités de Newton.

Exemple introductifModifier

On se donne le polynôme   avec  ,  ,   ses racines. On veut déterminer la somme  . Pour cela, on dispose de l'identité suivante :

 ,

si bien que, d'après les relations de Viète :

 .

ThéorèmeModifier

Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose  , où les   sont les racines de   (en particulier,  ). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement[4] que, pour   :

 ,
 ,
 ,
 
 .

Continuité des racinesModifier

En raison de leur expression polynomiale, les coefficients d'un polynôme à coefficients complexes sont des fonctions continues de ses racines. La réciproque est vraie mais plus délicate à prouver. Considérons l'application   définie par :

 

où les   sont les polynômes symétriques élémentaires définis à partir de  .   donne la liste des coefficients du polynôme unitaire   (hormis le coefficient dominant égal à 1). D'après le théorème de d'Alembert, cette application est surjective. F est continue puisque les coefficients du polynôme sont des fonctions continues des racines. La factorisation canonique de F conduit à introduire la relation d'équivalence suivante sur l'ensemble de départ   de F :

 

  est le groupe symétrique sur l'ensemble   des indices. Notons   l'ensemble quotient. Munissons cet ensemble de la topologie quotient. F se factorise sous la forme  , où   est la projection canonique de   sur  , et F l'application de   dans   qui, à une classe d'équivalence représentée par   associe la suite des polynômes symétriques élémentaires correspondants. On peut alors montrer que F est un homéomorphisme entre l'ensemble   des racines du polynôme à permutation près et l'ensemble   des coefficients du polynôme[5].

Notes et référencesModifier

  1. Si   n'est pas scindé, il suffit de se placer sur la clôture algébrique de K pour qu'il le devienne.
  2. Voir par exemple les relations coefficients-racines pour un polynôme du second degré sur Wikiversité.
  3. Voir par exemple les relations coefficients-racines pour un polynôme de degré 3 sur Wikiversité.
  4. Pellet, « Expression de la somme des puissances semblables des racines d'une équation, en fonction des coefficients », Nouvelles annales de mathématiques, 2e série, vol. 14,‎ , p. 259-265 (lire en ligne).
  5. Vincent Pilaud, « Continuité des racines d’un polynôme », (consulté le 11 avril 2018).

Article connexeModifier