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Quaternions de Hurwitz

Les quaternions de Hurwitz portent ce nom en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz.

DéfinitionModifier

QuaternionsModifier

Soit A un anneau. On definit l'algèbre de quaternions ℍ(A) comme l'algèbre A[ℍ] du groupe ℍ des quaternions. Plus explicitement, c'est le A-module libre engendré par 1, i, j et k, muni de la structure d'algèbre :

  • 1 élément neutre pour la multiplication,
  •  
  • et les identités :
    •  
    •  
    •  

Quaternions de HurwitzModifier

Soit  , l'algèbre des quaternions sur l'anneau ℤ des entiers relatifs. On définit les quaternions de Hurwitz — aussi appelés entiers de Hurwitz —   comme suit :

 

Ils forment un ordre maximal dans l'algèbre des quaternions sur ℚ.

PropriétésModifier

Les quaternions de Hurwitz forment un anneau unitaire, intègre mais non commutatif.

Le carré ║a2 de la norme d'un entier de Hurwitz a est un entier naturel. Cet entier est premier si et seulement si a est un élément irréductible de l'anneau[1].

Il existe 24 entiers de Hurwitz de norme 1 : 8 formés par ±1, ±i, ±j, ±k et 16 formés par (±1 ± i ± j ± k)/2.

Tout élément a de l'anneau est associé (à gauche ou à droite, au choix) à (au moins) un élément à composantes entières, c'est-à-dire que a est le produit d'un tel élément par l'un de ces 24 éléments de norme 1. En effet, si les quatre composantes de a sont des demi-entiers, il existe ω de la forme (±1 ± i ± j ± k)/2 tel que les composantes de aω soient des entiers pairs, et celles de ωa = ω(aω) + 1 sont alors entières.

Un anneau commutatif intègre A est dit euclidien s'il est muni d'un « préstathme euclidien », c'est-à-dire d'une application v de A dans ℕ vérifiant que pour deux éléments non nuls quelconques a, b de A tels que b ne divise pas a, il existe des éléments q, r de A tels que a = qb + r et v(r) < v(b), et cette définition se latéralise pour des anneaux non commutatifs[2]. En ce sens, l'anneau des entiers de Hurwitz est euclidien à gauche et à droite avec, comme préstathme, la norme. Autrement dit, pour la division euclidienne à gauche : si a et b sont des entiers de Hurwitz, avec b non nul, il existe au moins un couple (q, r) d'entiers de Hurwitz tel que a = qb + r avec ║r║ < ║b║. En effet, il suffit de poser r = a – qb après avoir choisi pour q un entier de Hurwitz tel que ║ab−1q║ < 1, or un tel q existe toujours[3].

Il en résulte que :

On a bien sûr les analogues en échangeant gauche et droite, par un raisonnement identique ou par conjugaison.

Notes et référencesModifier

  1. (en) László Rédei (en), Algebra, vol. 1, Elsevier, (1re éd. 1967) (lire en ligne), p. 352.
  2. (en) H. H. Brungs, « Left Euclidean rings », Pacific J. Math., vol. 45, no 1,‎ , p. 27-33 (lire en ligne).
  3. a et b (en) John Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, (lire en ligne), chap. 8.

BibliographieModifier

(de) Adolf Hurwitz, Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen, (lire en ligne)