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La prise de moyenne volumique ou volume averaging en anglais est une technique mathématique de changement d'échelles largement utilisée dans l'étude des milieux poreux, dont l'objectif est de créer des modèles macroscopiques à partir de problèmes à l'échelle microscopique. Historiquement cette technique a permis à divers auteurs en 1967[1],[2],[3],[4] d'obtenir la loi de Darcy, valable à l'échelle macroscopique, en moyennant l'écoulement de Stokes à l'échelle microscopique. On traite ici de ce problème, mais la technique utilisée s'étend à de nombreux autres domaines comme la diffusion de la matière, la conduction thermique ou la mécanique des milieux continus.

Elle est une alternative à la méthode d'homogénéisation mathématique par développement asymptotique[5].

Sommaire

Description microscopique / macroscopiqueModifier

La description des phénomènes physiques dans un milieu poreux peut s'effectuer à différents niveaux :

  • L'échelle microscopique de longueur caractéristique   qui est l'échelle du pore, espace vide où circule le fluide. La notion de fluide est ici à prendre au sens large : il peut s'agir d'un écoulement monophasique (liquide ou gaz) ou diphasique (gaz/liquide ou liquide/liquide). Les interactions entre phases (à la fois fluide-solide, mais aussi fluide-fluide dans le cas d'un écoulement polyphasique) sont prises en compte via les conditions à l'interface de ces deux phases.
  • Une échelle plus grande que l'on nommera l'échelle macroscopique de longueur caractéristique   est quant à elle de l'ordre de grandeur des dimensions du système. On la caractérise par     où q représente la valeur moyennée de toute quantité décrivant le milieu.

Les deux niveaux de détails présentés ci-dessus diffèrent généralement de plusieurs ordres de grandeur. Par exemple, la longueur caractéristique de l'écoulement microscopique dans une colonne d'adsorption contenant des billes est de l'ordre du millimètre alors que l'ordre de grandeur de l'échelle macroscopique est celui de la colonne, c'est-à-dire du mètre. On supose véifiée l'hypothèse de séparation des échelles :

 

De plus on suppose que l'on sait définir un volume élémentaire représentatif (VER) du milieu, lequel permettra de faire une hypothèse de périodicité de celui-ci.

Définition de la moyenne volumiqueModifier

La notion de moyenne d'une fonction   à valeur dans une phase   est propre au problème que l’ont souhaite étudier. Cependant, il est courant de la définir comme l’intégrale sur un volume   arbitrairement défini. Ce volume contient du solide (la structure poreuse) autour duquel s'écoule un fluide. Ce dernier peut être monophasique ou multiphasique. On définit la moyenne volumique par:

 

On définit également la moyenne intrinsèque à la phase   par :

 

Généralement, lorsque l'on cherche à créer un modèle macroscopique à partir d'un problème à l'échelle du pore, on cherche les équations différentielles qui régissent les moyennes intrinsèques à chaque phase.

Ces deux moyennes sont reliées par la relation

 

Dans le cas où la phase   est la seule phase qui s'écoule à travers le volume  , on peut identifier   à la porosité du milieu.

Théorème de prise de moyenne volumiqueModifier

La prise de moyenne volumique n'est pas une opération évidente, notamment en ce qui concerne la moyenne d'une dérivée. En effet, la moyenne d'un gradient est dans la plupart des cas différente du gradient de la moyenne. Les expressions suivantes, conséquence du théorème de Leibnitz nous permet de relier ces deux opérations[6] :

- gradient d'une quantité scalaire  
- divergence d'une quantité vectorielle  

  est la frontière, à l'intérieur de  , entre   et les autres phases  , et   est le vecteur normal unitaire à cette frontière, dirigé de   vers  .

L'intégrale exprime à l'échelle macroscopique les effets à l'interface entre deux phases (par exemple entre un fluide et la structure poreuse). C'est à travers ces intégrales que sont calculées les propriétés macroscopiques telles que la perméabilité.

Exemple : obtention de la loi de DarcyModifier

La perméation stationnaire de l'écoulement de Stokes d'un fluide β de vitesse Vβ dans un milieu poreux σ est décrit par le système suivant

- conservation de la quantité de mouvement  
- relation d'incompressibilité  
- condition à la limite fluide-solide  

pβ est la pression et μβ la viscosité dynamique.

À ce système il faut ajouter les conditions initiales et aux limites.

La relation d'incompressibilité est moyennée en tenant compte de la condition à la limite   

 

Si l'on s'intéresse à la moyenne intrinsèque à β pour un milieu inhomogène on a

 

Le moyennage de la conservation de la quantité de mouvement, plus difficile, aboutit à l'équation

 

où     est un tenseur qui exprime l'interaction du fluide avec le milieu solide.

Ce tenseur peut s'exprimer dans le cas d'un milieu périodique

 

où     est le tenseur de perméabilité.

On peut réécrire cette équation sous la forme suivante, appelée équation de Darcy-Brinkman

 

avec

 

Ce terme peut donc être négligé : on aboutit ainsi à la loi de Darcy dans un milieu périodique anisotrope.

RéférencesModifier

  1. C. M. Marle, « Écoulements monophasiques en milieu poreux », Revue de l'institut français du pétrole, vol. 22, no 10,‎ , p. 1471-1509
  2. (en) T. B. Anderson et R. Jackson, « A Fluid Mechanical Description of Fluidized Beds », Industrial & Engineering Chemistry Fundamentals, vol. 6,‎ , p. 527-538
  3. (en) J. C. Slattery, « Flow of Viscoelastic Fluids through Porous Media », AIChE Journal, vol. 13,‎ , p. 1066-1071
  4. (en) S. Whitaker, « Diffusion and Dispersion in Porous Media », AIChE Journal, vol. 13,‎ , p. 420-427
  5. (en) Yohan Davit, Christopher G. Bell, Helen M. Byrne, Lloyd A. C. Chapman, Laura S. Kimpton, Georgina E. Lang, Katherine H. L. Leonard, James M. Oliver, Natalie C. Pearson, Rebecca J. Shipley, Sarah L. Waters, Jonathan P. Whiteley, Brian D. Wood et Michel Quintard, « Homogenization via formal multiscale asymptotics and volume averaging: How do the two techniques compare? », Advances in Water Resources, vol. 62 Part B,‎ (lire en ligne)
  6. a b et c (en) Stephen Whitaker, The Method of Volume Averaging, Kluwer Academic Publishers, (ISBN 978-3-642-05194-4, lire en ligne)
  7. (en) W. G. Gray, « A Derivation of the Equations for Multiphase Transport », Chemical Engineering Science, vol. 30,‎ , p. 229-233
  8. (en) H. C. Brinkman, « A Calculation of the Viscous force Exerted by a Flowing Fluid on a Dense Swarm of Particles », Applied Scientific Research, vol. A1,‎ , p. 1-27