Lemme des bergers

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En mathématiques, le lemme des bergers, ou principe des bergers[1] est une propriété combinatoire.

Il peut s'énoncer au niveau élémentaire par :

Lemme des bergers — Si un ensemble E possède une partition en p sous-ensembles contenant chacun r éléments, alors E contient p × r éléments.

L'appellation « lemme des bergers » provient de la situation suivante : un berger ne voyant que les pattes de ses moutons pourra déterminer le nombre d'animaux en divisant le nombre de pattes par quatre[2].

Représentation schématique du Lemme des bergers pour une fonction f allant de X (ensemble des pattes de mouton) à Y (ensemble des moutons).

On peut utiliser ce lemme si on connaît le nombre d'éléments de E, un des nombres p et r étant connu mais pas l'autre, on en déduit celui des nombres p et r qu'on ne connaissait pas : il suffit de diviser le nombre d'éléments de E par p ou r suivant les cas.

Une version plus abstraite et plus générale de ce principe s'énonce comme suit, en désignant par f -1( { y } ) l'ensemble des antécédents d'un élément y par une application f :

Principe des bergers[1] — Étant donnés deux ensembles quelconques X et Y, de cardinaux respectifs a et b, et une surjection f : X → Y telle que les ensembles f -1( { y } ), pour y élément de Y, aient tous même cardinal c, alors on a  a = b × c.

Note et référenceModifier

  1. a et b N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], partie III, § 5, no 8, proposition 9, p. III.41, aperçu sur Google Livres.
  2. J.-P. Marco et al., Mathématiques L1: Cours complet avec fiches de révision, Pearson, (lire en ligne), p. 98.

Articles connexesModifier