Point singulier d'une courbe

En géométrie, un point singulier d'une courbe est un point en lequel la courbe ne peut être paramétrée par un plongement lisse.

Les définitions plus précises du point singulier d'une courbe dépendent du type de courbe concernée.

Courbes algébriques planes

Les courbes algébriques planes peuvent être définies comme étant un ensemble de points $(x,y)$ qui satisfont une équation de la forme ${\textstyle f(x,y)=0,}$ où $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ est une fonction polynomiale.

Supposons $f$ est développée sous la forme :

$f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots \,$

et si l'origine (0, 0) est sur la courbe, alors $a_{0}=0$. Si $b_{1}\neq 0$, alors le théorème des fonctions implicites garantit qu'il existe une fonction lisse h telle que la courbe soit de la forme $y=h(x)$ près de l'origine. De même, si $b_{0}\neq 0$, alors il existe une fonction lisse k telle que la courbe soit de la forme $x=k(y)$ près de l'origine.

Dans les deux cas, il existe une fonction lisse sur $\mathbb {R}$ qui définit la courbe au voisinage de l'origine. Remarquons qu'à l'origine,

$b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},$

de sorte que la courbe est non singulière à l'origine si au moins l'une des dérivées partielles de f est non nulle en ce point. Plus généralement, les points singuliers sont les points sur la courbe où les deux dérivées partielles sont nulles :

$f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.$

Points réguliers

On suppose que la courbe passe par l'origine et on pose $y=mx.$ Alors f peut être écrit sous la forme

$$f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .$$

Si $b_{0}+mb_{1}$ est non nul alors f = 0 a une solution de multiplicité 1 en x = 0 et l'origine est un point de contact simple avec la droite $y=mx.$ Si $b_{0}+mb_{1}=0$ alors f = 0 a une solution de multiplicité 2 ou supérieure et la droite $y=mx,$ ou $b_{0}x+b_{1}y=0,$ est tangente à la courbe. Dans ce cas, si $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}$ est non nul alors la courbe à un point de contact double avec $y=mx.$ Si le coefficient de x², $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},$ est nul mais le coefficient de x³ ne l'est pas et donc l'origine est un point d'inflexion de la courbe. Si les coefficients de x² et x³ sont tous les deux nuls alors l'origine est un point d'ondulation de la courbe. Cette analyse peut se déporter en tout point d'une courbe en translatant le repère pour placer l'origine au pont à étudier.

Points doubles

Trois limaçons illustrant les types de points doubles. Une fois revenus en coordonnées cartésiennes de $(x^{2}+y^{2}-x)^{2}={\frac {9}{4}}(x^{2}+y^{2}),$ la courbe gauche a un acnode à l'origine, qui est un point isolé du plan. La courbe centrale, la cardioïde, a un point de rebroussement à l'origine. La courbe droite a un crunode à l'origine et la courbe se croise elle-même pour former une boucle.

Si b₀ et b₁ sont tous deux nuls dans le développement ci-dessus, mais au moins un des c₀, c₁, c₂ est non nul alors l'origine est un point double de la courbe. En reprenant $y=mx,$ f peut être écrit

$$f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .$$

Les points doubles peut être classés selon les solutions de $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$

Crunodes

Si $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ a deux solutions réelles m, soit si $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,$ alors l'origine est un crunode. La courbe dans ce cas se croise elle-même à l'origine et a deux tangentes distinctes correspondantes aux deus solutions de $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$ La courbe a alors un point-selle à l'origine dans ce cas.

Acnodes

Si $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ n'a aucune solution réelle pour m, soit si $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,$ alors l'origine est un acnode. Dans le plan réel, l'origine est un point isolé sur la courbe ; cependant, en tant que courbe complexe l'origine n'est pas isolée et a deux tangentes imaginaires correspondantes aux deux racines complexes de $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$ La fonction f a un extremum local à l'origine dans ce cs.

Point de rebroussement

Si $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ a une solution simple de multiplicité 2 pour m, soit si $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,$ alors l'origine est un point de rebroussement. La courbe dans ce cas change de direction à l'origine, créant une crête. La courbe a une tangente simple à l'origine qui peut être comme deux tangentes qui coïncident.

Autres classifications

Le terme de nœud est utilisée pour désigner un crunode ou un acnode, soit un point double qui n'est pas un point de rebroussement. Le nombre de nœuds et le nombre de points de rebroussement sont deux invariants dans la formule de Plücker.

Si une des solutions de $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ est aussi solution de $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,$ alors la branche correspondante de la courbe a un point d'inflexion à l'origine. Dans ce cas, on parle de flecnode. Si les deux tangentes ont cette propriété, alors $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}$ est un facteur de $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},$ et l'origine est alors un biflecnode.

Points multiples

Une courbe avec un point triple à l'origine : x(t) = sin(2t) + cos(t), y(t) = sin(t) + cos(2t)

En général, si tous les termes de degré inférieur à k sont nuls, au moins un des termes de degré k est nul nul dans f, et la courbe a alors un point multiple d'ordre k. En ce point, la courbe aura, en général, k tangentes à l'origine, certaines pouvant être imaginaires

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Singular point of a curve » (voir la liste des auteurs)

, dont une référence était (en) Harold Hilton, Plane Algebraic Curves, Oxford, 1920 (lire en ligne), « Chapter II: Singular Points ».

Voir aussi

• Point singulier
• Théorie de Morse