Plan de Cayley
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En mathématiques, le plan de Cayley (ou plan projectif octonionique) P2(O) est un plan projectif sur les octonions[1].
Le plan de Cayley a été découvert en 1933 par la mathématicienne allemande Ruth Moufang et porte le nom d'Arthur Cayley pour son article de 1845 décrivant les octonions.
Propriétés modifier
Dans le plan de Cayley, les droites et les points peuvent être définis de manière naturelle de sorte à former un espace projectif de dimension deux, c'est-à-dire un plan projectif. C'est un plan non arguésien, c'est-à-dire que le théorème de Desargues n'est pas vérifié.
Plus précisément, depuis 2005, il existe deux objets appelés plans de Cayley, à savoir le plan de Cayley réel et le plan Cayley complexe. Le plan de Cayley réel est l'espace symétrique F4/Spin(9), où F4 est une forme compacte d'un groupe de Lie simple exceptionnel et Spin(9) est le groupe spinoriel associé à l'espace euclidien de dimension neuf (réalisé dans F4). Il admet une décomposition cellulaire en trois cellules, de dimensions 0, 8 et 16[2].
Le plan de Cayley complexe est un espace homogène sous la complexification du groupe E6 par un sous-groupe parabolique P1. C'est l'orbite fermée dans la projectivisation de la représentation complexe de dimension minimale de E6. Le plan de Cayley complexe est constitué de deux orbites complexes sous F4 : l'orbite fermée est un quotient du groupe F4 complexifié par un sous-groupe parabolique, l'orbite ouverte est la complexification du plan de Cayley réel[3], sur laquelle elle se rétracte.
Notes et références modifier
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cayley plane » (voir la liste des auteurs).
Voir aussi modifier
Article connexe modifier
Bibliographie modifier
- Dmitry Ahiezer, « Equivariant completions of homogenous algebraic varieties by homogenous divisors », Annals of Global Analysis and Geometry, vol. 1, , p. 49-78 (DOI 10.1007/BF02329739)
- John C. Baez, « The Octonions », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 39, no 2, , p. 145-205 (ISSN 0273-0979, DOI 10.1090/S0273-0979-01-00934-X, MR 1886087, arXiv math/0105155, lire en ligne)
- John C. Baez, « Errata for The Octonions », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 42, no 2, , p. 213-213 (DOI 10.1090/S0273-0979-05-01052-9
, lire en ligne [PDF]) - Atanas Iliev et Laurent Manivel, « The Chow ring of the Cayley plane », Compositio Mathematica, vol. 141, , p. 146 (DOI 10.1112/S0010437X04000788, arXiv math/0306329)
- Carl McTague, « The Cayley plane and string bordism », Geometry & Topology, vol. 18, no 4, , p. 2045-2078 (DOI 10.2140/gt.2014.18.2045, MR 3268773, zbMATH 1323.55007, arXiv 1111.4520)
- Helmut Salzmann, Dieter Betten, Theo Grundhöfer, Hermann Hähl, Rainer Löwen et Markus Stroppel, Compact projective planes : With an introduction to octonion geometry, vol. 21, Berlin, Walter de Gruyter & Co., coll. « De Gruyter Expositions in Mathematics », , xiv+688 (ISBN 3-11-011480-1)
