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En géométrie, un pentadécagone est un polygone à 15 sommets, donc 15 côtés et 90 diagonales.

La somme des 15 angles internes d'un pentadécagone non croisé vaut 2 340 degrés.

Un pentadécagone régulier et ses angles remarquables.

Sommaire

Construction à la règle et au compas d'un pentadécagone régulierModifier

Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, on applique le théorème de Gauss :

3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par   la relation de Bézout 2 × 3 – 5 = 1, on obtient l'égalité :  

Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que  ; le point B tel que   est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.

En pratique, on trace le pentagone régulier ADGJM (sens direct).

À partir du point G, on trace le triangle équilatéral GBL (sens rétrograde).

En reportant 14 fois la longueur AB sur le cercle, on obtient le polygone régulier ABCDEFGHIJKLMNP. Une telle construction a été proposée par Euclide.

Construction avec une médiatriceModifier

Construire le pentagone régulier ADGJM inscrit dans le cercle (c) de centre O.

Placer le point G' symétrique de G par rapport à O.

La médiatrice de [OG’] coupe le cercle (c) en deux points B et L, sommets du pentadécagone.

JustificationModifier

Le triangle OBG' est équilatéral, car OB = OG’ comme rayons et OB = G’B car B est sur la médiatrice de [OG’].

L'angle   de deux rayons du pentagone est de  

 

 , angle entre deux rayons du pentadécagone.

Construction au compasModifier

Construire le pentagone régulier ADGJM de centre O.

Placer les points A', D', G', J', M' symétriques de A, D, G, J, M par rapport à O.

Les points du pentadécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A', D', G', J', M' passant par le centre O.

JustificationModifier

G'OB est un triangle équilatéral de côtés égaux au rayon r du cercle circonscrit,  .

Comme ci-dessus on a :   (angle au centre du pentagone).

  est l'angle au centre du pentadécagone et le point B est bien un sommet.

Caractéristiques d'un pentadécagone régulierModifier

Si a est la longueur d'une arête :

  • le périmètre est P = 15 a ;
  • l'aire est 
  • l'apothème est 
  • le rayon vaut 
  • chaque angle au centre mesure 360°/15 = 24° ;
  • chaque angle interne mesure 2 340°/15 = 156°.

Pentadécagones croisésModifier

Les n-gones réguliers croisés (ou étoilés) correspondent aux entiers premiers avec n et compris entre 2 et n/2.

Il y a donc trois pentadécagones réguliers étoilés, que l'on obtient en joignant les sommets de 2 en 2, 4 en 4 ou 7 en 7 :

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