Cercle circonscrit

cercle qui passe par tous les sommets du polygone

En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle qui passe par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible ou parfois de polygone cyclique. Les sommets sont alors cocycliques, situés sur un même cercle. Ce cercle est unique et son centre est le point d'intersection des médiatrices des côtés.

Tous les polygones n'ont pas nécessairement de cercle circonscrit, mais tous les triangles, les rectangles et les polygones réguliers sont toujours inscriptibles.

Cercles circonscrits à des triangles.

Cas particuliersModifier

TriangleModifier

 
Notations usuelles dans un triangle quelconque.

Tout triangle non aplati est inscriptible.

Rayon du cercle

On considère un triangle non plat ABC, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

  • a = BC et α, l'angle formé par [AB] et [AC] ;
  • b = AC et β, l’angle formé par [BA] et [BC] ;
  • c = BA et γ, l’angle formé par [CA] et [CB].

R est le rayon du cercle circonscrit, S l'aire du triangle ABC.

Alors, d'après la loi des sinus, on a :

 

Ce qui permet de déterminer le rayon du cercle circonscrit :

 

Triangle rectangleModifier

  • Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a la particularité d'admettre pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle rectangle. Le centre du cercle circonscrit se trouve donc au milieu de l'hypoténuse. Son rayon vaut :

 

Remarque : avec ces notations, une équation barycentrique du cercle circonscrit à ce triangle est

 .

Triangle tangentielModifier

Pour un triangle ABC, de cercle circonscrit (c), les tangentes à (c) en A, B, C forment un triangle T1T2T3 dit tangentiel de ABC.

Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.
Elles sont concourantes et leur point de concours est le point de Lemoine.

QuadrilatèreModifier

 
Figure du théorème de Ptolémée.

Un quadrilatère est inscriptible si, et seulement si, deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires :

  • un quadrilatère croisé est inscriptible si, et seulement si, deux angles opposés sont égaux.
  • un quadrilatère convexe est inscriptible si, et seulement si, deux angles opposés sont supplémentaires.

Théorème de Ptolémée : un quadrilatère convexe est inscriptible si, et seulement si, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés

RectangleModifier

Tout rectangle (et donc tout carré) possède un cercle circonscrit dont le centre se trouve à l'intersection de ses diagonales, et dont le rayon vaut, comme pour le triangle rectangle :

 

Pour le cas du carré, Longueur = largeur donne :

 

Cette propriété dérive de celle du triangle, par symétrie.

LosangeModifier

Un losange qui n'est pas un carré ne possède pas de cercle circonscrit.

ParallélogrammeModifier

Un parallélogramme qui n'est pas un rectangle ne possède pas de cercle circonscrit.

Hexagone régulierModifier

L'hexagone régulier est circonscrit par un cercle de rayon mesurant la longueur d'un côté.

Cette propriété permet de tracer facilement un hexagone régulier avec une règle et un compas.

Propriétés des polygones inscriptiblesModifier

Un polygone inscriptible ayant un nombre impair de côtés a tous ses angles égaux si et seulement si il est régulier.

Un polygone inscriptible ayant un nombre pair de côtés a tous ses angles égaux si et seulement si les longueurs des côtés alternés sont égales entre elles (par exemple les côtés numéro 1, 3 , 5... sont égaux et les côtés 2, 4, 6... sont égaux)[1].

Pour un polygone inscriptible ayant un nombre pair de côtés, les deux sommes des angles alternés sont égales (autrement dit, la somme des premier, troisième, cinquième, etc. angles est égale à celle du deuxième, quatrième, sixième, etc.). On peut le démontrer par récurrence à partir du cas n = 4, en notant que pour passer du cas n au cas n + 2, on remplace un côté par trois nouveaux côtés ; ces quatre segments formant un quadrilatère inscriptible (vérifiant lui-même la propriété), les nouveaux angles alternés viennent s'ajouter aux sommes alternées des angles précédents du n-gone.

Soit un polygone à n côtés inscrit dans un cercle, et un autre polygone à n côtés tel que chaque côté soit tangent à ce cercle en un des sommets du polygone inscrit. Pour tout point P du cercle, le produit des distances de P aux côtés du premier polygone est égal au produit des distances de P aux côtés du second[2].

Le cercle circonscrit dans la cultureModifier

Dans le roman Anéantir de Michel Houellebecq, le personnage Durand déclare : « Par deux points quelconques, on peut toujours faire passer un cercle ; mais ce n'est en général pas le cas des ensembles de trois points : une petite minorité seulement »[3], méconnaissant l'inscriptibilité de tous les triangles non aplatis (« ensembles de trois points »).

BibliographieModifier

  1. MICHAEL DE VILLIERS, « 95.14 Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons », The Mathematical Gazette, vol. 95, no 532,‎ , p. 102–107 (ISSN 0025-5572, lire en ligne, consulté le )
  2. Roger A. Johnson et John Wesley Young, Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle, Houghton, Mifflin company, (lire en ligne), p. 72
  3. Michel Houellebecq, Anéantir, Paris (France), Flammarion, (ISBN 978-2-08-027153-2 et 2-08-027153-9, OCLC 1290162841, lire en ligne), p. 568
  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-916352-08-4)
  • Petite encyclopédie de mathématique, éd. Didier
  • Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie
  • Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M (ISBN 978-2-916352-12-1)


Voir aussiModifier