Le paradoxe de Borel (parfois appelé le paradoxe de Borel -Kolmogorov ) est un paradoxe de la théorie des probabilités en rapport avec les probabilités conditionnelles et les densités de probabilité .
Supposons que nous ayons deux variables aléatoires , X et Y , de densité de probabilité conjointe pX,Y (x ,y ). Nous pouvons former la densité conditionnelle de Y sachant X ,
p
Y
|
X
(
y
|
x
)
=
p
X
,
Y
(
x
,
y
)
p
X
(
x
)
{\displaystyle p_{Y|X}(y|x)={\frac {p_{X,Y}(x,y)}{p_{X}(x)}}}
où pX (x ) est la loi marginale appropriée.
En utilisant le théorème du changement de variable , nous pouvons paramétrer la loi conjointe avec les fonctions U = f (X ,Y ), V = g (X ,Y ), et pouvons alors former la densité conditionnelle de V sachant U .
p
V
|
U
(
v
|
u
)
=
p
V
,
U
(
u
,
v
)
p
U
(
u
)
{\displaystyle p_{V|U}(v|u)={\frac {p_{V,U}(u,v)}{p_{U}(u)}}}
Étant donné une condition particulière sur X et la condition équivalente sur U , l’intuition nous suggère que les densités conditionnelles pY|X (y |x ) et pV|U (v |u ) devraient être identiques. Ce n’est pas le cas en général.
Soit la densité de probabilité conjointe
p
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
{
1
,
0
<
y
<
1
,
−
y
<
x
<
1
−
y
0
,
sinon
{\displaystyle p_{X,Y}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&0<y<1,\quad -y<x<1-y\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}
La densité marginale de X se calcule
p
X
(
x
)
=
{
1
+
x
,
−
1
<
x
≤
0
1
−
x
,
0
<
x
<
1
0
,
sinon
{\displaystyle p_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1+x,&-1<x\leq 0\\1-x,&0<x<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}
Ainsi la densité conditionnelle de Y sachant X est
p
Y
|
X
(
y
|
x
)
=
{
1
1
+
x
,
−
1
<
x
≤
0
,
−
x
<
y
<
1
1
1
−
x
,
0
<
x
<
1
,
0
<
y
<
1
−
x
0
,
sinon
{\displaystyle p_{Y|X}(y|x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{1+x}},&-1<x\leq 0,\quad -x<y<1\\\\{\frac {1}{1-x}},&0<x<1,\quad 0<y<1-x\\\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}
qui est uniforme suivant y .
Maintenant, appliquons la transformation suivante :
U
=
X
Y
+
1
V
=
Y
.
{\displaystyle U={\frac {X}{Y}}+1\qquad \qquad V=Y.}
En utilisant le théorème du changement de variable, nous obtenons
p
U
,
V
(
u
,
v
)
=
{
v
,
0
<
v
<
1
,
0
<
u
⋅
v
<
1
0
,
sinon
{\displaystyle p_{U,V}(u,v)=\left\{{\begin{matrix}v,&0<v<1,\quad 0<u\cdot v<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}
La distribution marginale se calcule et est égale à
p
U
(
u
)
=
{
1
2
,
0
<
u
≤
1
1
2
u
2
,
1
<
u
<
+
∞
0
,
sinon
{\displaystyle p_{U}(u)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},&0<u\leq 1\\\\{\frac {1}{2u^{2}}},&1<u<+\infty \\\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}
Ainsi la densité conditionnelle de V sachant U est
p
V
|
U
(
v
|
u
)
=
{
2
v
,
0
<
u
≤
1
,
0
<
v
<
1
2
u
2
v
,
1
<
u
<
+
∞
,
0
<
v
<
1
u
0
,
sinon
{\displaystyle p_{V|U}(v|u)=\left\{{\begin{matrix}2v,&0<u\leq 1,\quad 0<v<1\\2u^{2}v,&1<u<+\infty ,\quad 0<v<{\frac {1}{u}}\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}
qui n’est pas uniforme suivant v .
D'après ce qui précède, nous avons
p
Y
|
X
(
y
|
x
=
0
)
=
{
1
,
0
<
y
<
1
0
,
sinon
{\displaystyle p_{Y|X}(y|x=0)=\left\{{\begin{matrix}1,&0<y<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}
La condition équivalente dans le système de coordonnées u -v est U = 1, et la densité conditionnelle de V sachant U = 1 est
p
V
|
U
(
v
|
u
=
1
)
=
{
2
v
,
0
<
v
<
1
0
,
sinon
{\displaystyle p_{V|U}(v|u=1)=\left\{{\begin{matrix}2v,&0<v<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}
Paradoxalement, V = Y et X = 0 est identique à U = 1, mais
p
Y
|
X
(
y
|
x
=
0
)
≠
p
V
|
U
(
v
|
u
=
1
)
.
{\displaystyle p_{Y|X}(y|x=0)\neq p_{V|U}(v|u=1).}