Équation polaire

Le plan est muni d'un repère orthonormal . Si est une fonction numérique, on peut considérer l'ensemble des points M dont un système de coordonnées polaires vérifient l'équation :

.

On dit que la courbe plane en question a pour équation polaire :

.

Si , on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle .

Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle est inclus dans le domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle à l'angle .

Base mobileModifier

On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe  , obtenue par rotation de θ à partir de la base  . Ainsi

 .

On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.

 .

Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.

Vecteur positionModifier

Par définition même des coordonnées polaires,   est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que   et ainsi

 .

Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci-dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.

Tangente à la courbeModifier

Si la fonction   est dérivable alors

 .

Si ce vecteur est non nul, il est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à  . Alors pour tout point M distinct de l'origine, l'angle   entre le vecteur   et le vecteur tangent   vérifie donc :

  si  ,
  si  .

Abscisse curviligneModifier

Si l'origine est prise en   alors l'abscisse curviligne, c’est-à-dire la longueur algébrique de la courbe entre le point   et  , est :

 .

Rayon de courbureModifier

Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.

Si la fonction   est deux fois dérivable, et si   est non nul, le rayon de courbure est :

 .

Point d'inflexionModifier

Si la fonction   est deux fois dérivable, les points d'inflexion se trouvent parmi les points qui annulent la quantité  . L'annulation de cette grandeur exprime en effet que les deux premières dérivées vectorielles du rayon-vecteur sont colinéaires.

Branches infiniesModifier

Pour étudier une branche infinie quand  , on utilise les coordonnées cartésiennes dans la base  [1].

Équations polaires paramétriquesModifier

Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t), θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile ; on note par un point la dérivation par rapport au paramètre t :

  ;
 .

RéférenceModifier

  1. Jean-Pierre Escofier, Toute l'analyse de la licence, Dunod, (lire en ligne), p. 447.

Voir aussiModifier

Rosace, Spirale, Limaçon, Lemniscate