Équation polaire

Le plan est muni d'un repère orthonormal . Si est une fonction numérique, on peut considérer l'ensemble des points M dont un système de coordonnées polaires vérifient l'équation :

.

On dit que la courbe plane en question a pour équation polaire :

.

Si , on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle .

Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle est inclus dans le domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle à l'angle .

Base mobileModifier

On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe  , obtenue par rotation de θ à partir de la base  . Ainsi

  .

On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.

 

Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.

Vecteur positionModifier

Par définition même des coordonnées polaires,   est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que   et ainsi

 .

Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci-dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.

Tangente à la courbeModifier

Si la fonction   est dérivable alors

 .

Si ce vecteur est non nul, il est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à  . Alors pour tout point M distinct de l'origine, l'angle   entre le vecteur   et le vecteur tangent   vérifie donc :

  si  ,
  si  .

Abscisse curviligneModifier

Si l'origine est prise en   alors l'abscisse curviligne, c’est-à-dire la longueur algébrique de la courbe entre le point   et  , est :

 .

Rayon de courbureModifier

Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.

Si la fonction   est deux fois dérivable, et si   est non nul, le rayon de courbure est :

 .

Point d'inflexionModifier

Si la fonction   est deux fois dérivable, les points d'inflexion se trouvent parmi les points qui annulent la quantité  . L'annulation de cette grandeur exprime en effet que les deux premières dérivées vectorielles du rayon-vecteur sont colinéaires.

Branches infiniesModifier

Pour étudier les branches infinies, on revient en coordonnées cartésiennes.

Équations polaires paramétriquesModifier

Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t), θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile ; on note par un point la dérivation par rapport au paramètre t :

  ;
 .

Voir aussiModifier

Rosace, Spirale, Limaçon, Lemniscate