Constante parabolique universelle
La constante parabolique universelle est une constante mathématique.
Elle est définie comme le rapport, noté P, pour toute parabole, de la longueur de l'arc de la parabole délimité par la corde focale, par la demi-longueur de cette corde, le paramètre de la conique. Pour une parabole, le paramètre est aussi égal à la distance du foyer à la directrice, notée L dans la figure ci-contre.
La valeur de la constante parabolique est donnée par :
Démonstration modifier
Soit l'équation de la parabole ; alors
Propriété modifier
P est un nombre transcendant.
- Preuve. Supposons que P soit algébrique. Alors serait algébrique. Cependant, par le théorème d'hermite-Lindemann, serait transcendant, ce qui est faux. Donc P est transcendant.
On en déduit que P est irrationnel.
Cas d'une conique quelconque modifier
Pour un cercle, le rapport analogue est égal à sa demi-longueur divisée par son rayon, soit le nombre .
Pour une conique d'excentricité e, le rapport analogue est égal à où , conduisant à une intégrale elliptique. On vérifie que et .
Autre apparition de cette constante modifier
La distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un carré de côté 2a à son centre est
- Preuve.
Remarque :
Références modifier
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Universal parabolic constant » (voir la liste des auteurs).
- (en) Eric W. Weisstein, « Universal Parabolic Constant », sur MathWorld