Opérateur de Householder

En algèbre linéaire, l'opérateur de Householder est défini comme suit. Soit un espace euclidien ou hermitien, avec un produit scalaire et un vecteur unitaire noté . Alors l'opérateur de Householder

est défini par

Cet opérateur est une réflexion par rapport à l'hyperplan de vecteur normal [1].

Il est également courant de choisir un vecteur non unitaire , et de le normaliser directement dans l'expression de l'opérateur Householder comme suit :

Propriétés

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L'opérateur de Householder vérifie les propriétés suivantes :

  • il est linéaire ; si   est un espace vectoriel sur un champ  , alors
 
  • il est autoadjoint
  • si  , alors il est orthogonal, et s   il est unitaire.

Cas particuliers

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Sur un espace vectoriel réel ou complexe, l'opérateur de Householder est également connu sous le nom de transformation de Householder.

Références

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  1. Methods of Applied Mathematics for Engineers and Scientist, Cambridge University Press, , Section E.4.11 (ISBN 978-1-107-24446-7, lire en ligne)