Triplet pythagoricien

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Animation illustrant le plus simple triplet pythagoricien : 32 + 42 = 52.

En arithmétique, un triplet pythagoricien ou triplet de Pythagore est un triplet (a, b, c) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : a2 + b2 = c2. Le triplet pythagoricien le plus « simple » est (3, 4, 5). Il est également le plus connu, ainsi que ses multiples : (6, 8, 10), (9, 12, 15)…

A tout triplet pythagoricien est associé un triangle de côtés entiers a,b,c, forcément rectangle d’hypoténuse c, et un rectangle de côtés entiers a,b, et de diagonale entière c.

HistoriqueModifier

La plus ancienne trace découverte de la connaissance de tels triplets remonterait à la tablette Plimpton 322, un document écrit vers dans l'ancien Irak, qui fait apparaître 15 couples de nombres qui peuvent être complétés pour former ce qu'on appelle aujourd'hui des triplets pythagoriciens[1],[2].

Mais les spécialistes ne sont pas tous d'accord, et d'autres interprétations de la tablette ont été proposées.[3]

Pythagore, au VIe siècle avant notre ère, n’a laissé aucun texte écrit et les sources diverses le concernant se contredisent. Il est cependant à peu près certain qu'il connaissait le triplet (3, 4, 5). Le philosophe Proclus de Lycie, au Ve siècle de notre ère, dans son commentaire sur le livre I des Éléments d’Euclide (rédigé vers 300 avant notre ère), attribue à Pythagore la découverte de la formule générale que nous notons aujourd’hui (2n +1, 2n2+2n, 2n2+2n +1), où n est un entier positif. [3]

Toujours d'après Proclus, Platon connaissait une deuxième famille infinie de triplets pythagoriciens : (n2-1,2n,n2+1). [3]

Cas généralModifier

Il existe une infinité de triplets pythagoriciens.

Voici un théorème donnant une formule générant l'ensemble de ces triplets.

Théorème — Le triplet (a, b, c) est pythagoricien si et seulement il existe deux entiers 0 < q < p tels que

  et  

On en déduit que les triplets pythagoriciens sont les triplets de la forme   avec   et   entiers.

La démonstration classique utilise une paramétrisation rationnelle du cercle unité[4] :

Cas des triplets primitifsModifier

Un triplet pythagoricien (a, b, c) est dit primitif si les trois entiers a, b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'un diviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième). Le triplet pythagoricien primitif le plus connu est (3, 4, 5), mais Il existe une infinité de triplets pythagoriciens primitifs.

Tout triplet pythagoricien (a, b, c) est, de manière unique, produit d'un triplet pythagoricien primitif par un entier strictement positif : le pgcd de (a, b, c).

Si l'on divise par c2, on obtient :

 

Autrement dit, les triplets pythagoriciens primitifs correspondent biunivoquement aux points du cercle unité à coordonnées rationnelles donnés sous forme irréductible par  .

Liste des 16 triplets primitifs[Note 1] dont tous les termes sont inférieurs à 100, classés par ordre croissant de c :

(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Théorème fondamental décrivant tous les triplets primitifsModifier

Si (a, b, c) est un triplet pythagoricien primitif alors (b, a, c) aussi, et a ou b est impair. Le théorème suivant caractérise donc tous ces triplets.

Il y a équivalence[5],[6],[7] entre

  • (i)   est un triplet pythagoricien primitif avec   impair.
  • (ii) Il existe un couple de nombres  avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes, tels que
     

REMARQUES :

  • La famille   était connue d'Euclide.[3]
  • Le cas   et p pair implique que tout nombre multiple de 4 :   fait partie d'au moins un triplet primitif :   (famille "de Platon" donnée ci-dessus).
  • En posant   et  , une reformulation de ce théorème est :
Théorème —   est un triplet pythagoricien primitif avec   impair si et seulement s'il existe deux entiers impairs premiers entre eux   tels que
 
  • Le cas   implique que tout nombre impair   fait partie d'au moins un triplet primitif :   (famille équivalente à celle de Pythagore donnée ci-dessus).

Propriétés d'un triplet pythagoricien primitifModifier

Un triplet primitif   avec   impair,   donnés par le théorème précédent possède les propriétés suivantes :

  • b est multiple de 4 et c est impair
  • un entier exactement parmi a et b est multiple de 3
  • un entier exactement parmi a, b et c est multiple de 5
  •  
    Triangle rectangle (ABC) associé au triplet (a,b,c)
    abc est multiple de 60 (conséquence des trois propriétés précédentes)
  • la hauteur issue de l'angle droit dans le triangle associé,  , n'est pas entière
  • l'aire du triangle associé   est un multiple de 6 et c'est par définition un nombre congruent
  • Tout entier   qui n'est pas de la forme 4k + 2 appartient à un triplet pythagoricien primitif, et aucun de la forme 4k + 2 n'y appartient (puisque b est multiple de 4)
  • les facteurs premiers de c sont de la forme 4k + 1, donc c également, comme pour toute somme de deux carrés premiers entre eux impaire
  •   et   sont des carrés
  • la réciproque de la propriété précédente est fausse comme le montre le triplet (1, 8, 9)
  •  
    Triangle (3,4,5) avec son cercle inscrit de rayon 1.
    l'aire   n'est ni un carré [10] :p. 17 , ni le double d'un carré [10]:p. 21 , théorème dû à Fermat [3]
  • les entiers p et q s'interprètent dans le triangle associé par la formule  , puisque   (voir figure ci-contre) ;  .
  • le rayon du cercle inscrit   est un entier, ainsi que les rayons des 3 cercles exinscrits :  ,  ,   ; par exemple pour le triplet (3,4,5), p=2 et q=1 ; les rayons successifs sont 1,2,3,6.
  • le diamètre du cercle circonscrit, égal à c, est évidemment entier, mais pas son rayon c/2.

Génération algébrique et géométriqueModifier

Berggren[11] a montré en 1934 que tout triplet pythagoricien primitif peut être obtenu à partir du triplet (3,4,5) par application répétée de  ,   et  , avec :

 

De plus cette décomposition est unique[12].

Géométriquement, le produit de   par un triplet (a, b, c) correspond à la construction Φ     effectuée pour le point  , où[3]:

  •   est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
  •   est la symétrie de centre O ;
  •   la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
  • et Φ l'application du cercle unité   dans lui-même qui à tout point M associe M’ le deuxième point d’intersection de   avec la droite passant par M et P(1,1).

ExemplesModifier

  •  
  •  

DensitéModifier

Si l'on note   le nombre de triplets pythagoriciens primitifs de somme inférieure à  , Derrick Norman Lehmer (en) a montré en 1900 que le rapport   tend vers  [3].

Problèmes de colorationModifier

On peut considérer l'ensemble des entiers naturels comme un graphe dont les sommets sont les nombres et tels que les sommets reliés par une arête soient ceux qui font partie d'un même triplet.

Dès lors on se demande s'il est possible de colorier le graphe de telle sorte que les éléments d'un même triplet ne soient pas tous de la même couleur[Note 2],[13].

En d'autres termes on cherche à colorier le graphe de façon à ce qu'il n'existe pas de 3-clique monochrome. Ce problème a initialement été posé par Paul Erdős et Ronald Graham[3].

En se limitant à deux couleurs il a été montré en 2016, et vérifié en 2019 grâce à Coq, qu'il n'est possible d'aller que jusqu'aux 7824 premiers entiers[3].

En utilisant trois couleurs différentes, il existe un coloriage admissible pour les 11066 premiers entiers mais au-delà le problème reste ouvert[3].

Une visualisation des triplets pythagoriciensModifier

 
Visualisation des triplets associée à la fonction carré.
 
Nuage de points de tous les couples d'entiers   tels que   soit pythagoricien avec   et   inférieurs à 4 500.

La fonction complexe   laisse stable l'anneau Z[i] des entiers de Gauss. À chaque point de l'image de Z[i] par cette fonction correspond un triplet pythagoricien (en effet,  , et  ). Cette remarque fournit une visualisation des triplets pythagoriciens[14] et une explication de la présence des paraboles dans le nuage de points ci-contre.

ApplicationsModifier

  • La corde à nœuds peut être utilisée pour construire des angles droits en délimitant un triangle dont les longueurs des côtés sont les éléments d'un triplet pythagoricien[Note 3].

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. De nombreux triplets pythagoriciens, dont tous les termes sont inférieurs à 100 ne sont pas primitifs. Exemple (6, 8, 10) qui est un multiple de (3, 4, 5)
  2. Pour les vingt premiers entiers un exemple d'une telle coloration est 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. On remarque par exemple que les triplets (3, 4, 5) et (5, 12, 13) ne sont effectivement pas monochromes.
  3. En général on utilise 12 intervalles formant trois côtés de longueur 3, 4 et 5.

RéférencesModifier

  1. Goichot, « Tablette Plimpton 322 », sur Le Portail des IREM, , revu par Christine Proust, 02/2017.
  2. Christine Proust, « Plimpton 322 : à la recherche des rectangles sexagésimaux, une version mésopotamienne de la recherche des « triplets pythagoriciens » », sur Images des mathématiques, (consulté en aout 2020)
  3. a b c d e f g h i et j Jean-Paul Delahaye, « Dans les arcanes des triplets pythagoriciens », Pour la science, no 514,‎ , p. 80-85 (lire en ligne).
  4. Voir par exemple, Pierre Guillot, Cours de mathématiques L1, TheBookEdition, p. 229
  5. Jean Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain : les mathématiques aujourd'hui, Hachette, (ISBN 978-2-01011950-7, OCLC 20000703), p. 94.
  6. (en) Wacław Sierpiński, Pythagorean triangles, Dover, (lire en ligne), p. 4-7.
  7. (en) John Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », (lire en ligne), p. 112.
  8. Pour une démonstration, voir par exemple Sierpiński 2003, p. 4 ou cet exercice corrigé de la leçon d'arithmétique sur Wikiversité.
  9. Gérard Villemin, « Table des triplets », (consulté le 27 mai 2020).
  10. a et b Carmichael, R. D., 1914, "Diophantine analysis," in second half of R. D. Carmichael, The Theory of Numbers and Diophantine Analysis, Dover Publ., 1959.
  11. « Pytagoreiska trianglar », Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi, vol. 17, p. 129-139.
  12. André Stoll, « Générations géométrique et algébrique des triplets pythagoriciens », L’Ouvert, nos 100-101,‎ , p. 1 (lire en ligne [PDF]).
  13. Shalom Eliahou, Jean Fromentin, « Pythagore et mixité », sur Image des mathématiques, (consulté en aout 2020)
  14. (en) « All possible pythagorean triples visualized », sur YouTube.

Voir aussiModifier

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