Nombre de Tamagawa

En mathématiques, le nombre Tamagawa $\tau (G)$ d'un groupe algébrique semi-simple défini sur un corps global $k$ est la mesure de $G(\mathbb {A} )/G(k)$ , où $\mathbb {A}$ est l'anneau adélique de $k$ . Les nombres Tamagawa ont été introduits par Tamagawa, et nommé en son honneur par André Weil.

L'observation de Tsuneo Tamagawa est la suivante. À partir d'une forme différentielle invariante ω sur $G$ , définie sur $k$ , la mesure impliquée était bien définie : la mesure de $cω$ avec $c$ un élément non nul de $k$ , la formule de produit pour les valuations sur $k$ implique l'indépendance en $c$ de la mesure du quotient. Le calcul des nombres de Tamagawa pour les groupes semi-simples contient des parties importantes de la théorie classique formes quadratiques.

Définition modifier

Soit $k$ un corps global, $A$ son anneau adélique, et $G$ un groupe algébrique semi-simple défini sur $k$ .

On choisit des mesures de Haar sur les complétions $k v de k$ telles que $O v$ ait un volume 1 pour tous les places $v$ sauf pour un nombre fini. Celles-ci induisent alors une mesure de Haar sur $A$ , que nous supposons en outre normalisée de sorte que $A / k$ soit de volume 1 par rapport à la mesure du quotient induite.

La mesure de Tamagawa sur le groupe algébrique adélique $G (A)$ est définie comme suit. Soit une $n$ -forme $ω$ invariante à gauche sur $G (k)$ définie sur $k$ , où $n$ est la dimension de $G$ en tant que variété algébrique. Ceci, combiné aux choix ci-dessus de mesure de Haar sur $k v$ , induit des mesures de Haar sur $G (k v)$ pour toutes places $v$ . Comme $G$ est semi-simple, le produit de ces mesures donne une mesure de Haar sur $G (A)$ , appelée mesure de Tamagawa. La mesure Tamagawa ne dépend pas du choix de ω, ni du choix des mesures sur les $k v$ , car multiplier $ω$ par un élément de $k *$ multiplie la mesure de Haar sur $G (A)$ par 1.

La conjecture de Weil sur les nombres de Tamagawa modifier

La conjecture de Weil sur les nombres de Tamagawa énonce que le nombre de Tamagawa $τ (G)$ d'un groupe algébrique simple et simplement connexe (c'est-à-dire n'ayant pas de revêtement algébrique propre) défini sur un corps de nombres vaut 1. Weil (1959) a calculé le nombre de Tamagawa dans de nombreux cas de groupes classiques et a observé qu'il était entier dans tous les cas considérés et égal à 1 dans les cas où le groupe est simplement connexe. Ono (1963) a trouvé des exemples où les nombres Tamagawa ne sont pas entiers, mais la conjecture sur le nombre Tamagawa de groupes simplement connectés a été prouvée en général par plusieurs travaux aboutissant à un article de Kottwitz (1988) et l'analogue sur les corps de fonctions sur les corps finis par Lurie et Gaitsgory en 2011^[1].

Références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tamagawa number » (voir la liste des auteurs).

(en) « Nombre de Tamagawa », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
Robert E. Kottwitz, Tamagawa numbers, vol. 127, Annals of Mathematics, coll. « 2 », 1988, 629–646 p. (DOI 10.2307/2007007, JSTOR 2007007, MR 0942522).
Takashi Ono, On the Tamagawa number of algebraic tori, vol. 78, coll. « Second Series », 1963, 47–73 p. (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970502, JSTOR 1970502, MR 0156851)
Takashi Ono, On the relative theory of Tamagawa numbers, vol. 82, coll. « Second Series », 1965, 88–111 p. (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970563, JSTOR 1970563, MR 0177991, lire en ligne)
Tsuneo Tamagawa, Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups, vol. IX, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Proc. Sympos. Pure Math. », 1966, 113–121 p. (MR 0212025), « Adèles »
André Weil, Exp. No. 186, Adèles et groupes algébriques, vol. 5, coll. « Séminaire Bourbaki », 1959, 249–257 p. (lire en ligne)
André Weil, Adeles and algebraic groups, vol. 23, Boston, MA, Birkhäuser Boston, coll. « Progress in Mathematics », 1982 (1^re éd. 1961) (ISBN 978-3-7643-3092-7, MR 670072, lire en ligne)
Jacob Lurie, Tamagawa Numbers via Nonabelian Poincaré Duality, 2014 (lire en ligne)

Lectures complémentaires modifier

Aravind Asok, Brent Doran et Frances Kirwan, « Théorie de Yang-Mills et nombres Tamagawa : la fascination des liens inattendus en mathématiques », 22 février 2013
J. Lurie, La formule de masse Siegel, les nombres Tamagawa et la dualité nonabélienne de Poincaré publié le 8 juin 2012.

↑ Lurie 2014.

[Lurie2014-1] Lurie 2014.

[1]