NL (complexité)
En informatique théorique, plus précisément en théorie de la complexité, NL est une classe de complexité. Cette classe est aussi appelée NLogSpace[réf. nécessaire]. C'est l'ensemble des problèmes de décision qui peuvent être décidés par des machines de Turing non déterministes dont l'espace de travail est borné par une fonction logarithmique.
Définition formelle modifier
Si l'on appelle , l'ensemble des problèmes de décision qui peuvent être décidés par des machines de Turing non déterministes utilisant un espace pour une fonction en la taille de l'entrée , alors on définit [1].
Un problème A est NL-dur si tout problème de NL se réduit en espace logarithmique à A. Un problème est NL-complet s'il est dans NL et NL-dur.
Exemples de problèmes NL-complets modifier
Le problème de l'accessibilité (aussi appelé s-t-accessibilité) qui consiste, étant donné un graphe orienté G, et deux sommets s et t de G, à déterminer s'il y a un chemin de s à t dans G, est NL-complet. Dans ce problème, le graphe est représenté explicitement, avec une matrice d'adjacence ou avec des listes d'adjacences.
Voici d'autres problèmes de décision NL-complets :
- 2-SAT, la restriction du problème SAT (qui est NP-complet) aux ensembles de clauses d'au plus deux littéraux.
- décider si le langage d'un automate fini non-déterministe est vide[2],[3],[4].
- décider si le langage d'un automate fini déterministe (avec un alphabet non unaire) est vide[3]. Si l'alphabet est unaire, le problème devient L-complet[3].
- décider si le langage d'un automate fini déterministe est le langage de tous les mots[3] (attention, si l'automate fini est non-déterministe, le problème devient PSPACE-complet[5]).
- décider si le langage d'un automate de Büchi est vide est NL-complet[6].
En 1976, Neil D. Jones, Y. Edmund Lien et William T. Laaser propose des démonstrations de NL-complétude pour plusieurs problèmes[7], à l'instar des problèmes de Karp pour la NP-complétude.
Relations avec les autres classes modifier
La classe NL est une classe relativement petite parmi les classes usuelles. On a notamment NL P.
Comme pour toutes les classes, la variante non déterministe contient la version déterministe, c'est-à-dire que L NL. Au , l'autre sens NL L est un problème ouvert. Un autre résultat est donné par le théorème de Savitch[8] :
Théorème de Savitch —
Un autre résultat est le théorème dû à Neil Immerman[9] et Róbert Szelepcsényi[10] indépendamment :
Théorème d'Immerman-Szelepcsényi — , pour toute fonction , en particulier NL=co-NL
La classe NL est incluse dans NC, même plus précisément dans NC2[11]. Pour le démontrer, on construit un circuit de taille polynomiale et de profondeur polylogarithmique pour le problème d'accessibilité qui est NL-complet. On montre aussi que la classe NC est stable par réduction logarithmique.
Autres définitions modifier
Définition par certificat modifier
Une définition par certificat est aussi possible, comme pour NP. Les contraintes à ajouter sont les suivantes : le vérificateur est unidirectionnel, c'est-à-dire que la tête de lecture ne peut pas revenir en arrière, et il travaille en espace logarithmique[12].
Définition de complexité descriptive modifier
En complexité descriptive, NL correspond à la logique du premier ordre avec fermeture transitive[13].
Notes et références modifier
- Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Ellipses, , 432 p. (ISBN 9782729886929, lire en ligne), chap. 4.3 (« Considérations de base sur l’espace : comparaison avec les classes en temps »), p. 109
- « Examen qui pose cette question »
- « Space-bounded reducibility among combinatorial problems », Journal of Computer and System Sciences, vol. 11, no 1, , p. 68–85 (ISSN 0022-0000, DOI 10.1016/S0022-0000(75)80050-X, lire en ligne, consulté le )
- « Complexity of universality and related problems for partially ordered NFAs », Information and Computation, vol. 255, , p. 177–192 (ISSN 0890-5401, DOI 10.1016/j.ic.2017.06.004, lire en ligne, consulté le )
- Alfred V. Aho et John E. Hopcroft, The Design and Analysis of Computer Algorithms, Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., (ISBN 0201000296, lire en ligne)
- (en) A. Prasad Sistla, Moshe Y. Vardi et Pierre Wolper, « The complementation problem for Büchi automata with applications to temporal logic », Theoretical Computer Science, vol. 49, no 2, , p. 217–237 (ISSN 0304-3975, DOI 10.1016/0304-3975(87)90008-9, lire en ligne, consulté le ) :
« Theorem 2.9 The nonemptiness problem for Büchi automata is logspace complete for NLOGSPACE. »
- (en) Neil D. Jones, Y. Edmund Lien et William T. Laaser, « New problems complete for nondeterministic log space », Mathematical Systems Theory, vol. 10, no 1, , p. 1–17 (ISSN 0025-5661 et 1433-0490, DOI 10.1007/bf01683259, lire en ligne, consulté le )
- Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Ellipses, , 432 p. (ISBN 9782729886929, lire en ligne), chap. 4.5.2 (« Théorème de Savitch »), p. 118.
- Neil. Immerman, « Nondeterministic Space is Closed under Complementation », SIAM Journal on Computing, vol. 17, no 5, , p. 935–938 (ISSN 0097-5397, DOI 10.1137/0217058, lire en ligne, consulté le )
- (en) Róbert Szelepcsényi, « The method of forced enumeration for nondeterministic automata », Acta Informatica, vol. 26, no 3, , p. 279–284 (ISSN 1432-0525, DOI 10.1007/BF00299636, lire en ligne, consulté le )
- (en) Papadimitriou, Computational complexity, Theorem 16.1 (p. 395)
- Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Ellipses, , 432 p. (ISBN 9782729886929, lire en ligne), chap. 4.5.1 (« Certificats unidirectionnels »), p. 117.
- (en) Neil Immerman, « Languages Which Capture Complexity Classes », 15th ACM STOC Symp., , p. 347-354 (lire en ligne).
Bibliographie modifier
(en) Sanjeev Arora et Boaz Barak, Computational Complexity : A Modern Approach, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-42426-7), chap. 4 (« Space complexity »)
