Graphe orienté
type de graphe
Dans la théorie des graphes, un graphe orienté est un couple formé de un ensemble de nœuds et un ensemble d'arêtes alors nommées arcs, chaque arc étant associé à un couple de sommets alors nommés nœuds selon une direction représentée par une flèche.
DéfinitionsModifier
- Étant donné un arc , on dit que est l'origine (ou la source ou le départ ou le début) de et que est la cible (ou l'arrivée ou la fin) de .
- Le demi-degré extérieur (degré sortant) d'un nœud, noté , est le nombre d'arcs ayant ce nœud pour origine.
- Le demi-degré intérieur (degré entrant) d'un nœud, noté , est le nombre d'arcs ayant ce nœud pour cible.
- Chaque arc ayant une seule origine et une seule cible, le graphe comporte autant de degrés sortants que de degrés entrants : .
- est un chemin si et seulement si est un arc ; on dit que le chemin est élémentaire si tous les sont distincts.
- le chemin est un circuit si et seulement si est un arc. Ce qui est équivalent à dire que le nœud de début du chemin est également sa fin.
- le graphe est un sous-graphe du graphe orienté si et seulement si contient . Plus précisément, si et seulement si et .
- Le graphe transposé d'un graphe orienté est obtenu en conservant tous les nœuds de et en inversant tous les arcs de . Autrement dit, avec . On parle aussi de graphe inverse[1].
Exemples relatifs aux figures 1 et 2Modifier
- le graphe dessiné dans la figure 1 est défini par et par .
- le degré sortant . Deux arcs ont pour origine le nœud .
- le degré entrant . Aucun arc n'a pour cible le nœud .
- est un chemin du graphe (puisque et appartiennent à ) .
- est un circuit du graphe (et c'est le seul circuit élémentaire si on l'identifie au circuit ), car les arcs et appartiennent à .
- est un sous-graphe de .
- est le transposé de .
Modélisation par graphes orientésModifier
Les graphes orientés sont des modèles pour diverses situations.
- Les systèmes routiers possédant des sens uniques, les systèmes de transport dissymétriques...
- Les graphes d'état mêlant transitions réversibles et irréversibles (exemple : les automates à états finis).
- Le flot de contrôle d'un programme.
- Les réseaux de flot sont des graphes orientés dont les arcs sont étiquetés par des capacités.
Notes et référencesModifier
- Les deux termes sont utilisés, voir Olivier Carton, « Algorithmes sur les graphes » pour graphe transposé, et Jean-Charles Régin et Arnaud Malapert, « Théorie des graphes », pour graphe inverse.
BibliographieModifier
- Claude Berge, Théorie des graphes et ses applications, Paris, Dunod, , 275 p. (OCLC 780360).