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Moyenne mobile

(Redirigé depuis Moyenne glissante)
Exemple (réalisé avec Wall Street Professionnal).

La moyenne mobile, ou moyenne glissante, est un type de moyenne statistique utilisée pour analyser des séries ordonnées de données, le plus souvent des séries temporelles, en supprimant les fluctuations transitoires de façon à en souligner les tendances à plus long terme. Cette moyenne est dite mobile parce qu'elle est recalculée de façon continue, en utilisant à chaque calcul un sous-ensemble d'éléments dans lequel un nouvel élément remplace le plus ancien ou s'ajoute au sous-ensemble.

Ce type de moyenne est utilisé généralement comme méthode de lissage de valeurs, en particulier dans le domaine financier pour l'analyse technique de cours boursiers.

Mathématiquement, toute moyenne mobile est un exemple de convolution. Physiquement, une moyenne mobile est un filtre passe-bas et possède ainsi un lien profond avec le traitement du signal. En particulier, la moyenne mobile exponentielle, que nous allons aborder plus loin, est un filtre linéaire passe-bas du premier ordre tout à fait classique.

Moyenne mobile arithmétiqueModifier

Point de vue classiqueModifier

C'est une moyenne qui au lieu d'être calculée sur l'ensemble des n valeurs d'un échantillonnage, est calculée tour à tour sur chaque sous-ensemble de N valeurs consécutives (N ≤ n). Le sous-ensemble utilisé pour calculer chaque moyenne, parfois appelé « fenêtre », « glisse » sur l'ensemble des données.

Par exemple, le tableau suivant montre les moyennes mobiles simples sur 3 valeurs, pour une série de 9 mesures.

Mesures 2 3 5 8 8 7 8 5 2
Moyenne
glissante
néant (2 + 3 + 5)/3

3,3333

(3 + 5 + 8)/3

5,3333

(5 + 8 + 8)/3

7

(8 + 8 + 7)/3

7,6666

(8 +7 + 8)/3

7,6666

(7 + 8 + 5)/3

6,6666

(8 + 5 + 2)/3

5

néant

Autre exemple : dans le cas particulier du domaine de la pollution atmosphérique, est utilisée une « moyenne glissante sur 8 heures » de la concentration d'un polluant (c'est en l'occurrence le cas de l'ozone, en objectif de qualité pour la protection de la santé humaine) ; cette moyenne pourra être calculée de 0h00 à 8h00, de 1h00 à 9h00, de 2h00 à 10h00, etc. On recherchera, sur une journée, la valeur maximale de la moyenne glissante, qui devra être inférieure à une concentration donnée. L'intérêt d'une moyenne glissante est de lisser les éventuels écarts accidentels.

Le calcul successif de moyennes mobiles pour une même suite de nombres exige de conserver toutes les valeurs utilisées par les moyennes précédentes, afin de remplacer le terme le plus ancien par le plus récent.

Une formule permettant de calculer une moyenne mobile simple est

 

Nature du filtre constitué par la moyenne mobile arithmétiqueModifier

L'expression de gauche, ci-dessus, n'est autre qu'un produit de convolution discret entre un signal   et une fonction porte de hauteur  . La transformée de Fourier de cette fonction est un sinus cardinal. Par conséquent, cette moyenne possède une réponse en fréquence potentiellement dérangeante, certaines variations de   étant reportées négativement dans   et d'autres positivement. Cela est interprétable comme un déphasage passant brusquement d'un extrême à l'autre en fonction de la vitesse de variation des données.

Moyenne mobile pondéréeModifier

 
Poids utilisés par une moyenne mobile pondérée de 15 valeurs.

Une moyenne mobile pondérée est une moyenne mobile qui utilise des coefficients pour donner un poids distinct à chaque valeur utilisée dans le calcul. Dans le cas d'une moyenne mobile pondérée, les poids de chaque terme décroissent linéairement, le plus récent ayant un poids de N et le plus ancien (le Nième) ayant un poids unitaire.

 

Le dénominateur est un nombre triangulaire, et peut être directement calculé comme  

Comme la moyenne mobile simple, le calcul successif de moyennes mobiles pondérées pour une même suite exige de conserver toutes les valeurs utilisées par les moyennes précédentes.

Moyenne mobile exponentielleModifier

Point de vue classiqueModifier

 
Poids utilisés pour les 21 plus récentes valeurs composant une moyenne mobile exponentielle de décroissance   (N=15).

Une moyenne mobile exponentielle utilise une pondération des termes qui décroît exponentiellement. Le poids de chaque valeur participant à la moyenne (souvent désignée par le terme observation en statistiques) est d'un facteur plus grand que la valeur qui le précède dans la série, ce qui donne plus d'importance aux observations les plus récentes, sans toutefois jamais supprimer complètement l'effet des valeurs les plus anciennes.

Une constante de lissage contrôle le degré de décroissance des poids applicables à chaque observation participant à la moyenne. Cette constante, α, est un nombre compris entre 0 et 1 ; elle peut être exprimée :

  • par sa valeur numérique : α = 0,1 ;
  • en pourcentage : α = 10 % équivaut à α = 0,1 ;
  • en nombre de périodes : N = 19, où   approximativement, équivaut également à α = 0,1.

Contrairement aux autres types de moyennes glissantes, le nombre de périodes N ne représente pas le nombre de valeurs participant à la moyenne ; il ne sert qu'à spécifier la constante de lissage α. En effet, chaque nouveau calcul de la moyenne mobile exponentielle ajoute l'effet de la plus récente observation sans en abandonner une plus ancienne. Le poids total des N plus récentes observations utilisées par une moyenne mobile exponentielle constitue environ 86 % du poids total avec la formule   (la précision de cette formule augmente avec N) . Pour que N périodes pèsent précisément 86 % dans la moyenne (surtout requis lorsque N est petit), la formule exacte est α = 1 - (1 - 0,86)1/N.

Dans sa forme la plus simple, la moyenne pondérée exponentielle s'exprime en fonction de cette même moyenne calculée lors de la précédente période. Il en existe deux formulations:

Roberts[1] (1959) :   —— Hunter[2] (1986) :  

On peut écrire différemment ces expressions pour souligner que la moyenne mobile exponentielle tend à conserver sa valeur précédente, n'en différant que par une fraction de sa différence avec la plus récente observation:

Roberts (1959) :   —— Hunter (1986) :  

Une moyenne mobile exponentielle doit être initialisée; le plus souvent, on impose   mais on peut également, par exemple, lui assigner une moyenne simple des 4 ou 5 premières observations. L'effet de l'initialisation de   sur les moyennes mobiles ultérieures dépend de α ; de plus grandes valeurs de la constante de lissage tendent à atténuer plus rapidement l'impact des observations plus anciennes. En effet, l'expansion de la forme de Roberts en y substituant récursivement les moyennes mobiles exponentielles des calculs précédents donne une somme infinie, mais puisque l'expression 1 - α est inférieure à 1, les termes anciens sont de plus en plus petits et peuvent éventuellement être ignorés.

 
 

En posant β = (1 - α), β ∈ [0, 1] et en remarquant que  , on a :

 

Nature du filtre constitué par la moyenne mobile exponentielleModifier

L'expression  , ci-avant, n'est autre qu'un produit de convolution discret entre un signal   et un filtre passe-bas du premier ordre. En effet, en écrivant   sous la forme  , on identifie la réponse impulsionnelle d'un filtre passe bas du premier ordre d'amplification   et dont la pulsation de coupure est  , exprimée en radians/échantillon.   est négatif, les paramètres du filtre sont donc bien positifs.

Pour considérer des formes plus adaptées au contexte, notons que la fréquence de coupure est de   cycles/échantillon, soit une période de coupure de   échantillons. Concrètement, lorsque   varie assez rapidement, lorsque   fluctue en moins de   échantillons, la fluctuation se retrouve dans   mais est d'autant plus affaiblie qu'elle est rapide. Plus précisément, l'atténuation est de 20 dB/décade.

Par conséquent, la moyenne mobile exponentielle souffre du principal défaut des filtres passe bas classiques, à savoir un déphasage des données. Cela se traduit par un retard entre l'évolution de   et l'évolution des données  , et ce retard dépend de la rapidité de l'évolution.

Autres types de moyennesModifier

Tout comme il existe une infinité de filtres dans le domaine du traitement du signal, il existe une infinité de moyennes glissantes. Nous avons abordé dans cet article les plus courantes et avons évoqué leurs particularités dans l'espace de Fourier. Nous nous apercevons qu'elles entraînent des déphasages qui nuisent à la qualité des résultats. Nous aurions pu aborder aussi les questions spectrales soulevées par l'échantillonnage sous-jacent aux produits de convolution discrets.

Une moyenne moins commune possède de meilleures caractéristiques. Elle se réalise par un filtre gaussien récursif. Bien qu'un filtre gaussien récursif parfait n'existe pas, il existe d'excellentes approximations d'ordre 4 grâce auxquelles seuls les défauts liés à l'échantillonnage subsistent (voir, par exemple, Deriche 1993). En effet, la transformée de Fourier d'une gaussienne est une gaussienne. Par conséquent, elle ne présente aucun déphasage, à contrario de la moyenne mobile exponentielle, et aucune oscillation, à contrario de la moyenne mobile arithmétique. Mais les calculs sont plus lourds (un filtre quasi-gaussien d'ordre 4 nécessite environ 16 opérations par valeur) et ces caractéristiques idéales ne sont rencontrées que si la moyenne est réalisée sur des données connues d'avance (un déphasage apparaît si seule la partie causale du filtre est utilisée).

Enfin, au lieu d'utiliser une moyenne, on peut utiliser un autre critère de position, typiquement la médiane.

GénéralisationModifier

Article détaillé : Algorithme de Savitzky-Golay.

On peut voir la moyenne comme une régression par une droite horizontale. On peut à la place utiliser une régression polynomiale : sur la fenêtre glissante, on effectue une régression polynomiale, et la valeur au centre de la fenêtre est remplacée par la valeur du polynôme trouvé (valeur lissée). Ce type de filtre est « moins brutal » et permet également de déterminer la dérivée de la courbe lissée. Si l'espacement entre les échantillons est constant, la valeur lissée est simplement une combinaison linéaire des valeurs contenues dans la fenêtre, c'est-à-dire au final une moyenne pondérée, les coefficients de pondération n'étant ni linéaires, ni exponentiels mais formant une « courbe en cloche » symétrique par rapport au centre de la fenêtre.

Réponses impulsionnellesModifier

 
Réponse à une impulsion pour des indicateurs SMA/EMA (N=20, Metastock v10).

On peut voir sur le graphique ci-contre la réponse impulsionnelle pour deux types de moyennes. On peut y lire les valeurs de la pondération utilisée, à une symétrie près (résultat Metastock v10).

Notes et référencesModifier

AnnexesModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier