Mesure gaussienne

En analyse, les mesures gaussiennes sont des mesures qui ont une mesure image avec une densité normale sur $\mathbb {R}$.

Définition

Mesure gaussienne dans des espaces de dimension finie

En dimension 1

Une mesure de probabilité de Borel $\gamma$ sur $\mathbb {R}$ est une mesure gaussienne si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :

• c'est la mesure de Dirac $\gamma :=\delta _{p}$ en un point $p$
• elle a la forme suivante

$\gamma (B)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{B}\exp \left(-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\mathrm {d} x,\qquad B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

par rapport à la mesure de Lebesgue.

Le second cas est dit non dégénéré.

En dimension d

Une mesure de probabilité de Borel sur $\mathbb {R} ^{d}$ est une mesure gaussienne si pour toute fonctionnelle linéaire $f\in (\mathbb {R} ^{d})^{*}$, la mesure $\gamma \circ f^{-1}$ est une mesure gaussienne sur $\mathbb {R}$.

Mesure gaussienne dans des espaces de dimension infinie

Espace localement convexe

Soit $X$ un espace localement convexe et ${\mathcal {E}}(X)$ la tribu généré par tous les sous-ensembles cylindriques de $X$, telle que toutes les fonctionnelles $f\in X^{*}$ soient mesurables.

Une mesure de probabilité $\gamma$ sur ${\mathcal {E}}(X)$ est gaussienne si pour toute fonctionnelle $f\in X^{*}$ la mesure $\gamma \circ f^{-1}$ est une mesure gaussienne sur $\mathbb {R}$.