Magma (algèbre)

structure algébrique élémentaire : ensemble muni d'une loi de composition interne
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En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Définitions

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Un magma est un ensemble   muni d'une loi de composition interne  , noté alors   ou simplement  .

Aucun axiome n'est imposé. La loi de composition peut être notée additivement, multiplicativement, mais aussi sans aucun signe, par simple juxtaposition.

On dit que le magma   est :

  • unifère s'il possède un élément neutre  , c'est-à-dire   ;
  • un demi-groupe (ou associatif) si   est associative ;
  • un monoïde s'il vérifie les deux propriétés (associativité et existence d'un élément neutre)[1].

Si   et   sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de   dans   est par définition[2] une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait

 

Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de   dans   et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas.

Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes.

Exemples de magmas

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  • Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide.
  •   est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier.
  •   est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier.
  •   est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est permutatif et régulier.
  • On appelle magma opposé au magma   le magma    pour tous  .
  • Magma quotient
  • Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments   muni de la loi interne   ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie[3].
Magma {0,1,2} muni de  
  0 1 2
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 2 2

Magma libre construit sur un ensemble

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Pour tout ensemble  , il est possible de construire un ensemble   qui contient   et qui est un magma pour la loi   définie par :  . Cet ensemble doit nécessairement contenir

  • les éléments   de  
  • les couples   d'éléments de  
  • les couples   formés d'un couple et d'un élément de  
  • les couples  
  •  

  peut être décrit comme l'ensemble des mots parenthésés construits à partir des éléments de  , l'opération   étant une concaténation non associative.

Bourbaki décrit cet ensemble[4] comme l'union des ensembles de mots de longueur   pour   appartenant à   . Il définit par récurrence l'ensemble des mots de longueur  ,   comme l'ensemble somme des ensembles   pour   : un mot de longueur n est la concaténation d'un mot de longueur   et d'un mot de longueur  .

Cet ensemble s'appelle le magma libre construit sur  .

Ce magma libre construit sur   possède la propriété universelle suivante: si   est une application de   vers un magma  , il existe une unique extension de  ,  , qui soit un morphisme de magma de   vers  .

Historique

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Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation « groupoïde de Ore », introduite par Bernard Hausmann et Øystein Ore en 1937[5] et parfois utilisée jusque dans les années 1960[6], est aujourd'hui à éviter [7],[8],[9], l'usage du terme groupoïde étant aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

Notes et références

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  1. N. Bourbaki, Algèbre I, chapitres 1 à 3, p. I.12 §2 1, Élément neutre, Définition 2.
  2. N. Bourbaki, AI, p. I.2-3.
  3. (en) V. L. Murskiǐ, « The existence in three-valued logic of a closed class with finite basis, not having a finite complete system of identities », Soviet Math. Dokl., vol. 6, 1965, p. 1020-1021.
  4. Bourbaki, A I.77, §7, Magmas libres.
  5. (en) B. A. Hausmann et Oystein Ore, « Theory of Quasi-Groups », Amer. J. Math., vol. 59, no 4,‎ , p. 983-1004 (JSTOR 2371362).
  6. Dov Tamari, « Problèmes d'associativité des monoïdes et problèmes des mots pour les groupes », Séminaire Dubreil, vol. 16, no 1,‎ 1962-63 (lire en ligne), exposé no 7, p. 1-29.
  7. (en) « Groupoid », sur Online Dictionary of Crystallography.
  8. (en) Massimo Nespolo, « Does mathematical crystallography still have a role in the XXI century? », Acta Crystallographica, section A, vol. 64,‎ , p. 97 (DOI 10.1107/S0108767307044625).
  9. (en) L. Beklemishev, M. Pentus et N. Vereshchagin, Provability, Complexity, Grammars, coll. « AMS Translations – Series 2 » (no 192), , 172 p. (traduction anglaise de trois thèses de doctorat en russe, dont la première : [(ru) lire en ligne], 1992).