Méthode de Halley

En analyse numérique, la méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2). La méthode, présentée par l'astronome Edmond Halley[1], est une généralisation de la méthode de Newton, à convergence cubique.

ÉnoncéModifier

Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Halley consiste à itérer

 

à partir d'une valeur x0 proche de a.

Au voisinage de a, la suite vérifie :

 ,

avec K > 0 ; ce qui signifie que la convergence est donc (au pire) cubique.

DéductionModifier

La formule se déduit par exemple de la méthode de Newton appliquée à la fonction   :

 ,

avec

 

d'où le résultat. Si f′(c) = 0, cela ne s'applique que si g peut être prolongée en c.

Notes et référencesModifier

  1. Edmond Halley, « A new, exact, and easy method of finding the roots of any equations generally, and that without any previous reduction », Philosophical Transaction of the Royal Society, London, vol. 18,‎ , p. 136-145

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