Loi stable

loi de variables qui satisfait une propriété de stabilité sous des combinaisons linéaires

Loi stable
Image illustrative de l’article Loi stable
Densité de probabilité
Distributions stables symétriques
Distribution symétrique
α-stable avec une facteur d'échelle unitaire
Skewed centered stable distributions
Distributions stables asymétriques centrées avec facteur d'échelle unitaire

Image illustrative de l’article Loi stable
Fonction de répartition
Fonctions de répartition de distributions symétriques α-stables
Fonctions de répartition de distributions symétriques
α-stables
Fonctions de répartition de distributions de Lévy asymétriques centrées
Fonctions de répartition de distributions stables asymétriques centrées

Paramètres α ∈ (0,2] — paramètre de stabilité

β ∈ [−1,1] — paramètre d'asymétrie
c ∈ (0, ∞) — paramètre d'échelle
μ ∈ (−∞, ∞) — moyenne

Support xR, ou x ∈ [μ, +∞[ si α < 1 et β = 1, ou x ∈ ]-∞,μ] si α < 1 et β = -1
Densité de probabilité pas d'expression analytique générale, sauf pour quelques valeurs de paramètres
Fonction de répartition pas d'expression analytique générale, sauf pour quelques valeurs de paramètres
Espérance μ quand α > 1, sinon indéfini
Médiane μ quand β = 0, sinon pas d'expression analytique
Mode μ quand β = 0, sinon pas d'expression analytique
Variance 2c2 quand α = 2, sinon indéfini
Asymétrie 0 quand α = 2, sinon indéfini
Kurtosis normalisé 0 quand α = 2, sinon indéfini
Entropie pas d'expression analytique générale, sauf pour quelques valeurs de paramètres
Fonction génératrice des moments indéfini
Fonction caractéristique

La loi stable ou distribution de Lévy tronquée, nommée d'après le mathématicien Paul Lévy, est une loi de probabilité utilisée en mathématiques, physique et analyse quantitative (finance de marché).

Variable aléatoire stable réelleModifier

DéfinitionModifier

On dit qu'une variable aléatoire réelle   est de loi stable si elle vérifie l'une des 3 propriétés équivalentes suivantes[1] :

  1. Pour tous réels strictement positifs   et  , il existe un réel strictement positif   et un réel   tels que les variables aléatoires   et   aient la même distribution, où   et   sont des copies indépendantes de  .
  2. Pour tout entier  , il existe une constante strictement positive   et un réel   tels que les variables aléatoires   et   aient la même distribution, où   sont des copies indépendantes de  .
  3. Il existe des réels  ,  ,   et   telles que la fonction caractéristique de   vérifie, pour tout  ,

 

 

Remarques :

  • Les paramètres  ,  ,   et   caractérisent la loi de  . On écrit alors  .
  • Le réel   dans   est appelé paramètre de stabilité de  . Le réel positif   est appelé paramètre d'échelle de  .
  • Les coefficients  ,   et   sont liés par la relation  .
  • Pour tout  , on a  .

On dit qu'une variable aléatoire réelle   est  -stable si elle est stable et que son paramètre de stabilité est  .

Propriétés des lois stablesModifier

  • Si   et   sont indépendantes, alors   avec

 

  • Si   et  , alors  .
  • Si   avec  , alors

 

 .

  • Si   avec  , alors

 

Cas symétriqueModifier

On dit que   est de loi symétrique  -stable si   est  -stable et que les variables aléatoires   et   sont identiquement distribuées.

  •   est de loi symétrique  -stable si, et seulement si,  . On note simplement dans ce cas  .
  •   est de loi symétrique  -stable si, et seulement si, sa fonction caractéristique vérifie pour tout   l'égalité  , où   est le paramètre d'échelle de  .

Vecteur aléatoire stable et variable aléatoire stable complexeModifier

Vecteur aléatoire stableModifier

On dit qu'un vecteur aléatoire   de   est de loi stable s'il vérifie une des 2 propriétés équivalentes suivantes[1] :

  1. Pour tous réels strictement positifs   et  , il existe un réel strictement positif   et un vecteur   de   tels que les vecteurs aléatoires   et   aient la même distribution, où   et   sont des copies indépendantes de  .
  2. Il existe une mesure finie   sur la sphère   de   et un vecteur   tels que la fonction caractéristique de   vérifie, pour tout  ,

 

  est le produit scalaire classique sur  .

Remarques :

  • La paire   est unique.
  • Le réel   est appelé paramètre de stabilité de  .
  • Les coefficients  ,   et   sont liés par la relation  .
  • On dit que   est de loi symétrique  -stable si   est  -stable et que les variables aléatoires   et   sont identiquement distribuées. Dans ce cas, sa fonction caractéristique est donnée, pour tout  , par  .

Propriétés des vecteurs aléatoires stablesModifier

  • Si   est un vecteur  -stable, alors, pour tous réels  , la variable aléatoire réelle   est  -stable.
  • Si   et, pour tous réels  , la variable aléatoire réelle   est  -stable, alors le vecteur   est  -stable.
  • Si, pour tous réels  , la variable aléatoire réelle   est symétrique  -stable, alors le vecteur   est symétrique  -stable.

Variable aléatoire stable complexeModifier

On dit qu'une variable aléatoire complexe   est de loi  -stable, si le vecteur   de   est  -stable.

On dit de plus que la loi de   est isotrope si, pour tout  , les variables aléatoires   et   sont identiquement distribuées. Dans ce cas, sa fonction caractéristique vérifie, pour tous complexes  ,  , où   est un réel positif appelé paramètre d'échelle de  .

Représentation en série de LePageModifier

Cas symétrique réelModifier

Soit  . On pose  . Soit   et   deux processus mutuellement indépendants de variables aléatoires définis sur le même espace de probabilité   satisfaisant aux propriétés suivantes[2] :

  1. Les  ,  , sont les temps d'arrivée d'un processus de Poisson d'intensité 1 ; c'est-à-dire, pour tous  , on a  , où   est une suite de variables aléatoires exponentielles de paramètre 1 indépendantes.
  2. Les Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « /mathoid/local/v1/ » :): {\displaystyle Z_m} ,   sont des variables aléatoires réelles, symétriques, indépendantes, identiquement distribuées et vérifiant  .

Alors la série   converge presque sûrement. De plus, elle est de loi symétrique  -stable et son paramètre d'échelle   vérifie  .

Cas isotrope complexeModifier

Soit  . On pose  . Soit   et   deux processus mutuellement indépendants de variables aléatoires définis sur le même espace de probabilité   satisfaisant aux propriétés suivantes[3] :

  1. Les  ,  , sont les temps d'arrivée d'un processus de Poisson d'intensité 1.
  2. Les  ,  , sont des variables aléatoires complexes, isotropes, indépendantes, identiquement distribuées et vérifiant  , où   désigne la partie réelle de  .

Alors la série   converge presque sûrement. De plus, elle est de loi isotrope  -stable et son paramètre d'échelle   vérifie  .

Liens avec d'autres loisModifier

Elle a pour cas particuliers :

  • La loi de Lévy (paramètres α=1/2 et beta=1), définie par une formule analytique explicite.
  • La loi normale (paramètre α=2), définie par une formule analytique explicite.
  • La loi de Cauchy (paramètre α=1), définie par une formule analytique explicite.

Gnedenko et Kolmogorov ont établi une généralisation du théorème central limite selon laquelle la somme de variables aléatoires ayant des queues de distribution décroissantes selon 1/|x|α+1 avec 0 < α < 2 (ayant donc une variance infinie) tend vers une loi stable de paramètre α[4].

RéférencesModifier

  1. a et b (en) Samorodnitsky, G. and Taqqu, M. S., Stable Non-Gaussian Random Processes. Stochastic Models with Infinite Variance, New York, Chapman and Hall, London, , 632 p. (ISBN 0-412-05171-0)
  2. (en) Marcus, M. B. and Pisier, G., « Characterizations of almost surely continuous p-stable random Fourier series and strongly stationary processes », Acta Math.,‎ , p. 245-301
  3. (en) Kôno, N. and Maejima, M., « Hölder continuity of sample paths of some self-similar stable processes », Tokyo Journal of Mathematics,‎ , p. 93-100
  4. Gnedenko, Boris Vladimirov., Limit distributions for sums of independent random variables, Addison-Wesley Pub. Co, (OCLC 859841311, lire en ligne)