Loi arc sinus

Loi arc sinus
Image illustrative de l’article Loi arc sinus
Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres aucun
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités, la loi arc sinus est une loi de probabilité à densité dont le support est un intervalle compact. Elle est un cas particulier de la loi bêta.

Loi standardModifier

la fonction de répartition de la loi arc sinus standard est donnée par :

 

pour 0 ≤ x ≤ 1, et dont la densité de probabilité est donnée par :

 

sur ]0 ; 1[. La loi arc sinus standard est un cas particulier de la loi bêta avec les paramètres α = β = 1/2. Ainsi, si X est de loi arc sinus standard alors  

GénéralisationModifier

Loi arc sinus – support borné
Paramètres  
Support  
Densité de probabilité  
Fonction de répartition  
Espérance  
Médiane  
Mode  
Variance  
Asymétrie  
Kurtosis normalisé  

Support borné arbitraireModifier

La loi peut être étendu à tout support borné [a ; b] par une simple transformation de la fonction de répartition

 

pour axb, la densité de probabilité est ainsi

 

sur ]a ; b[. Cette loi est notée arcsinus(a,b).

Paramètre de formeModifier

La loi arc sinus standard généralisée sur ]0 ; 1[. avec pour densité de probabilité

 

est également un cas spécial de la loi bêta de paramètres  . Le paramètre α est appelé paramètre de forme. Lorsque α = 1/2, cette loi est la loi arc sinus standard.

PropriétésModifier

  • La loi arc sinus est stable par translation et par multiplication par un facteur positif :
    • Si  .
  • La loi arc sinus sur ]–1 ; 1[ mise au carré est la loi arc sinus sur ]0 ; 1[ :
    • Si  .

Relations avec d'autres loisModifier

  • Si U et V sont des variables indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme continue sur ]–π ; π[, alors sin(U), sin(2U), –cos(2U), sin(U + V), et sin(U - V) ont toutes la loi arc sinus standard.
  • Si X est de loi arc sinus généralisée de paramètre de forme α et avec pour support l'intervalle fini [a ; b], alors  .

Loi limite du dernier retour à l'origineModifier

On considère la marche aléatoire (Sn) définie comme la valeur atteinte après n lancers d'une pièce de monnaie équilibrée (pile = +1, face = -1). Tn est la variable aléatoire définie comme le dernier instant où S a atteint 0 sur [0 , 2n] :

 

Alors la variable aléatoire Tn/S2n converge en loi vers la loi arc sinus.

RéférenceModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arcsine distribution » (voir la liste des auteurs).