Inégalité de Tchebychev pour les sommes

L’inégalité de Tchebychev pour les sommes est due à Pafnouti Tchebychev. Elle est un cas particulier de l'inégalité FKG et de l'inégalité de Harris. Elle ne doit pas être confondue avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Pafnouti Tchebychev, mathématicien à l'origine de cette inégalité

Énoncé

Inégalité de Tchebychev pour les sommes — Si $a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\$ et $b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},$ alors

${1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).$

De même, si $a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}$ et $b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n},$ alors

${1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).$

Démonstration

Si les suites $(a_{k})_{1\leq k\leq n}$ et $(b_{k})_{1\leq k\leq n}$ sont décroissantes, on peut écrire :

$\forall i,j\quad (a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})\geq 0.$

En sommant selon i, on obtient donc :

$\forall j\quad \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}-a_{j}\sum _{i}b_{i}-b_{j}\sum _{i}a_{i}+na_{j}b_{j}\geq 0.$

Puis, en sommant cette fois selon j, on obtient :

$n\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}-\sum _{j=1}^{n}a_{j}\sum _{i=1}^{n}b_{i}-\sum _{j=1}^{n}b_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i}+n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq 0,$

d'où la première inégalité.

Plus généralement, l'inégalité vaut pour des suites monotones, mais le sens des inégalités change lorsque les suites concernées ont des sens de monotonie opposés.

Version continue : inégalité de corrélation

Il existe une version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes :

Théorème —  Si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, intégrables sur [0, 1], toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), alors

$\int _{0}^{1}fg\geq \int _{0}^{1}f\times \int _{0}^{1}g.$

Une version plus générale est la suivante :

Inégalité de corrélation —  Pour toute variable aléatoire réelle X, si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), telles que f(X) et g(X) soient de carré intégrables sur [0, 1], alors

${\text{Cov}}\left(f(X),\,g(X)\right)\geq 0,$

ou bien, de manière équivalente,

$\mathbb {E} \left[f(X)g(X)\right]\geq \mathbb {E} \left[f(X)\right]\mathbb {E} \left[g(X)\right].$

• L'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de l'inégalité de corrélation par application du théorème de transfert pour les variables aléatoires réelles : il suffit de choisir, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme discrète sur $[\![1,n]\!],$ puis de poser f(i) = a_i et g(i) = b_i.
• La version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de l'inégalité de corrélation de manière analogue, en choisissant, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme continue sur [0, 1].
• La démonstration de l'inégalité de corrélation est analogue à la démonstration de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, telle que donnée dans cette page : cette démonstration figure, comme premier pas de la démonstration de l'inégalité FKG, sur la page correspondante.