Inégalité de Kolmogorov

L'inégalité de Kolmogorov[1], due à Andreï Kolmogorov, est une étape essentielle de sa démonstration de la loi forte des grands nombres, un des principaux théorèmes de la théorie des probabilités. C'est l'étape où il utilise l'hypothèse d'indépendance (et, sans le dire, la notion de temps d'arrêt).

ÉnoncéModifier

Inégalité de Kolmogorov. — Soit une suite   de v.a.r. indépendantes et centrées. Posons

 

Alors, pour tout  ,

 
Remarques :
  • L'inégalité
 
est une conséquence immédiate de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. La présence du sup rend l'inégalité beaucoup plus précise, donc plus difficile à démontrer.

DémonstrationModifier

Si  , l'inégalité est vérifiée. Dans la suite, on suppose que

 

On pose

 

On remarque alors que, pour  ,

 

En effet  , alors que

 

Ainsi pour deux boréliens quelconques   et  , les deux évènements

 

appartiennent aux tribus   et  , respectivement. Ils sont donc indépendants en vertu du lemme de regroupement, ce qui implique bien  . On a

 

où la troisième inégalité s'obtient en développant le carré en deux termes carrés (dont l'un est supprimé pour minorer l'expression précédente) et un double produit (de deux variables indépendantes, en vertu de  ). L'égalité suivante tient à ce que   est centrée (comme somme de v.a. centrées), et la dernière inégalité découle de la définition du temps d'arrêt   : par définition, au temps  , on a  . En faisant tendre   vers l'infini on obtient

 

C.Q.F.D.

NotesModifier

  1. On peut en trouver l'énoncé, la démonstration et le contexte, page 248 du livre de P. Billingley, Probability and measure, Wiley, 1re édition, 1979.