H-groupe

structure algébrique et topologique

Ne pas confondre avec la notion de Groupe d'homotopie.


En mathématiques, un h-groupe est un espace topologique pointé muni d'une multiplication (ou loi de composition interne) et d'une application dans lui-même (jouant le rôle d'inverse) satisfaisant des relations similaires à celles qui définissent les groupes mais à homotopie[1] près.

Cette structure généralise ainsi à la fois celle de groupe topologique et celle de h-espace. Elle permet d'étudier certaines propriétés des espaces de lacets.

Définition

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Un h-groupe est un espace topologique   pointé muni de deux applications continues : une « multiplication »

 

et une « inverse »

 

telles que

  • le point de base   est neutre pour la multiplication et invariant par l'inverse ;
  • la multiplication par le point de base (à gauche comme à droite) est homotope à l'identité relativement au point de base ;
  • la multiplication est associative à homotopie près relativement au point de base, c'est-à-dire que les applications suivantes sont homotopes relativement au triplet   :
      ;
  • la multiplication (à gauche comme à droite) de l'identité par l'inverse est contractile au point de base.

Exemple fondamental

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Pour tout espace topologique  , son espace des lacets   est un h-groupe pour la concaténation des lacets (éventuellement normalisée si l'espace source des lacets est le segment  ).

Propriétés

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  • L'ensemble des applications continues d'un espace topologique vers un h-groupe forme lui-même un h-groupe.
  • L'ensemble des composantes connexes (par arcs ou non) d'un h-groupe est un groupe.
  • L'ensemble des classes d'homotopie d'applications d'un espace topologique vers un h-groupe forme donc un groupe.

Voir aussi

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H-cogroupe

Notes et références

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  1. La lettre « h » est l'initiale de l'anglais homotopy ou de Hopf, voir par exemple (en) Glen E. Bredon (en), Topology and Geometry [détail de l’édition], p. 441.