Le potentiel de simple couche est le potentiel de pesanteur créé par une distribution surfacique de masse infiniment mince. Il peut s'écrire au point potentié comme , où est un point de la surface de masse , la densité de masse en ce point, et la distance entre les points et . Le potentiel de simple couche et toutes ses dérivées sont continus dans les volumes intérieurs et extérieurs délimités par la surface, tandis que les dérivées sont discontinues lors du passage au travers de la surface .

Définition

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Contexte : élément volumique ou ponctuel

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Le plus souvent on conçoit la force gravifique par unité de masse, appelée gravité, comme engendrée par une distribution volumique de masse donnant lieu à un potentiel newtonien

 

  représente la distance entre un point potentiant   et un point potentié   et où

 

désigne la masse volumique (ou densité) du point massique potentiant, autrement dit la limite du rapport de l'élément de masse   associé au point massique en   à l'élément de volume   associé au même point lorsque   devient infiniment petit.

Cas surfacique

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Il existe de nombreuses situations où l'on est obligé de considérer des distributions de masse non plus volumiques, mais surfaciques ou éventuellement linéaires.

 
Potentiel de simple couche

Considérons donc maintenant le potentiel gravifique causé par une distribution surfacique de masse, autrement dit le potentiel d'une surface matérielle   infiniment mince sur laquelle on définit une densité surfacique

 

Ici,   désigne un point quelconque appartenant à la surface  ,   est l'élément de masse au point potentiant  , et   est l'élément de surface en  . Le potentiel en   de cette surface matérielle, appelé potentiel de simple couche, est fourni par

 ;

  est la distance   entre un point potentiant   et un point potentié  .

Propriétés

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On montre que sur la surface   la fonction   est continue, mais que ses dérivées premières sont discontinues. En fait, les dérivées tangentielles, c'est-à-dire les dérivées prises dans le plan tangent à la surface au point-frontière considéré, restent continues, mais les dérivées normales diffèrent selon que l'on s'approche de la frontière de l'intérieur ou de l'extérieur. Dans le cas d'une approche de l'extérieur, nous trouvons pour la dérivée normale en   de   sur   la limite

 .

Par contre, dans le cas d'une approche de l'intérieur, on a

 .

L'opérateur   désigne une dérivation dans la direction de la normale extérieure  .

Nous remarquons ainsi que la dérivée normale   du potentiel de simple couche   présente une discontinuité au travers de la surface   :

 .

On peut généraliser les relations plus haut pour la dérivée de   dans une direction arbitraire   en tenant compte de la continuité des dérivées tangentielles. Ces expressions généralisées sont les suivantes :

 ,
 .

Les vecteurs   et   étant unitaires, le produit scalaire   représente le cosinus de l'angle fait par les directions   et  .

Des discontinuités se produisent seulement lors du passage au travers de la surface matérielle  . Dans les volumes intérieur et extérieur délimités par cette surface, le potentiel de simple couche   est partout continu en même temps que toutes ses dérivées. Excepté sur  , il s'obtient comme solution de l'équation de Laplace

 .

A l'infini   se comporte de la même manière que le potentiel gravifique   d'une distribution de masse volumique. Il tend donc vers zéro comme   lorsque   tend vers 0.

Bibliographie

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W.A. Heiskanen et H. Moritz, Physical Geodesy, W.H. Freeman and Company, 1967, San Francisco and London. ix + 364 pp.

Voir aussi

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