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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Corps.

En mathématiques, un corps gauche ou anneau à division (parfois simplement appelé corps, voir plus bas) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles certains types d'additions, de soustractions, de multiplications et de divisions. Plus précisément, un corps gauche est un anneau dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe pour la multiplication.

Selon la définition choisie d'un corps qui diffère selon les auteurs (la commutativité de la multiplication n'est pas toujours imposée), la notion de corps gauche est soit strictement équivalente à celle de corps (si la commutativité de la multiplication n'est pas imposée) soit constitue une généralisation de la notion de corps (si elle est imposée). On renvoie à l'article Corps (mathématiques) pour plus de détails.

Sommaire

DéfinitionModifier

Un corps gauche est un anneau (unitaire), non réduit à un élément, dans lequel tout élément non nul a un inverse pour la multiplication. Dit autrement, c'est un anneau unitaire non réduit à un élément et dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe pour la multiplication.

ExemplesModifier

  • Tout corps commutatif est un corps gauche.
  • L'exemple le plus célèbre de corps gauche non commutatif est celui des quaternions, découvert par William Rowan Hamilton en 1843.
  • Soit   un automorphisme de corps. Soit   l'anneau des séries de Laurent formelle à coefficients complexes avec la loi multiplicative définie de la façon suivante: au lieu de simplement autoriser les coefficients à commuter avec l'indéterminée  , pour  , on pose   pour  . Si   est un automorphisme non trivial du corps des complexes (par exemple la conjugaison), alors l'anneau des séries de Laurent formelles correspondant est un corps gauche non commutatif.

RésultatsModifier

Notes et référencesModifier

  1. André Blanchard, Les corps non commutatifs, PUF, , p. 43
  2. André Blanchard, op. cit., p. 66

Articles connexesModifier