En mathématiques , la fonction trigamma , notée ψ 1 (z )ψ (1) (z )fonctions polygamma ; elle est définie par
Représentation en couleur de la fonction trigamma, ψ 1 (z )coloration de domaine .
ψ
1
(
z
)
=
d
2
d
z
2
ln
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\ln \Gamma (z)}
Il résulte de cette définition que
ψ
1
(
z
)
=
d
d
z
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\psi (z)}
où ψ (z )fonction digamma . Elle peut également être définie comme somme de série :
ψ
1
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
z
+
n
)
2
,
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}
ce qui en fait un cas particulier de fonction zêta de Hurwitz
ψ
1
(
z
)
=
ζ
(
2
,
z
)
.
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).}
Il faut noter que les deux dernières formules sont valides lorsque 1 − z n'est pas un entier naturel .
Une représentation en intégrale double , comme alternative à celles données ci-dessus, peut être obtenue à partir de la représentation en série :
ψ
1
(
z
)
=
∫
0
1
∫
0
x
x
z
−
1
y
(
1
−
x
)
d
y
d
x
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}
en utilisant la formule de la somme d'une série géométrique . L'intégration en y
ψ
1
(
z
)
=
−
∫
0
1
x
z
−
1
ln
x
1
−
x
d
x
{\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,\mathrm {d} x}
Un développement asymptotique comme série de Laurent est :
ψ
1
(
z
)
=
1
z
+
1
2
z
2
+
∑
k
=
1
∞
B
2
k
z
2
k
+
1
=
∑
k
=
0
∞
B
k
z
k
+
1
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}}
si on a choisi B 1 = 1 / 2
Formules de récurrence et de réflexion
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La fonction trigamma vérifie la relation de récurrence
ψ
1
(
z
+
1
)
=
ψ
1
(
z
)
−
1
z
2
{\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}
et la formule de réflexion
ψ
1
(
1
−
z
)
+
ψ
1
(
z
)
=
π
2
sin
2
π
z
{\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,}
ce qui donne immédiatement la valeur en z =1 / 2
ψ
1
(
1
2
)
=
π
2
2
{\displaystyle \psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}}
Valeurs particulières
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On a l'expression pour des arguments demi-entiers positifs :
ψ
1
(
n
+
1
2
)
=
π
2
2
−
4
∑
k
=
1
n
1
(
2
k
−
1
)
2
.
{\displaystyle \psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.}
De plus, la fonction trigamma prend les valeurs particulières suivantes :
ψ
1
(
1
4
)
=
π
2
+
8
K
ψ
1
(
1
2
)
=
π
2
2
ψ
1
(
1
)
=
π
2
6
ψ
1
(
3
2
)
=
π
2
2
−
4
ψ
1
(
2
)
=
π
2
6
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8K\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}}
où K est la constante de Catalan .
la fonction ψ 1 zn , zn
ℜ
z
n
=
ℜ
(
z
n
¯
)
{\displaystyle \Re z_{n}=\Re ({\overline {z_{n}}})}
−n + 1 / 2 et les parties imaginaires augmentent lentement en O(ln(n )). Par exemple, z 1 = −0,4121345... + 0,5978119... iz 2 = −1,4455692... + 0,6992608... iIm(z ) > 0 .
Relation avec la fonction de Clausen
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La valeur de la fonction digamma pour des arguments rationnels peut être exprimée en termes de fonctions trigonométriques et logarithmiques par le théorème digamma. Un résultat similaire est obtenu pour la fonction trigamma mais les fonctions circulaires sont remplacées par la fonction de Clausen . À savoir, [ 1]
ψ
1
(
p
q
)
=
π
2
2
sin
2
(
π
p
/
q
)
+
2
q
∑
m
=
1
(
q
−
1
)
/
2
sin
(
2
π
m
p
q
)
Cl
2
(
2
π
m
q
)
.
{\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).}
Calcul et approximation
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Une méthode simple pour approximer la fonction trigamma consiste à prendre la dérivée du développement asymptotique de la fonction digamma .
ψ
1
(
x
)
≈
1
x
+
1
2
x
2
+
1
6
x
3
−
1
30
x
5
+
1
42
x
7
−
1
30
x
9
+
5
66
x
11
−
691
2730
x
13
+
7
6
x
15
{\displaystyle \psi _{1}(x)\approx {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {1}{30x^{5}}}+{\frac {1}{42x^{7}}}-{\frac {1}{30x^{9}}}+{\frac {5}{66x^{11}}}-{\frac {691}{2730x^{13}}}+{\frac {7}{6x^{15}}}}
La fonction trigamma apparaît dans cette somme :
∑
n
=
1
∞
n
2
−
1
2
(
n
2
+
1
2
)
2
[
ψ
1
(
n
−
i
2
)
+
ψ
1
(
n
+
i
2
)
]
=
−
1
+
2
4
π
coth
π
2
−
3
π
2
4
sinh
2
π
2
+
π
4
12
sinh
4
π
2
(
5
+
cosh
π
2
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left[\psi _{1}\left(n-{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}\right)+\psi _{1}\left(n+{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}\right)\right]=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}
↑ Structural properties of polylogarithms , American Mathematical Society, 1991 (ISBN 978-0821816349 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8K\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83254fde3f05ffb63b909b7f5e4733d6377b6c5c)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left[\psi _{1}\left(n-{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}\right)+\psi _{1}\left(n+{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}\right)\right]=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ff5c41e0e4ed78c1432c68ee132cff1e6cdcf3)
